Criterios de recurrencia y transitoriedad
Estudiaremos una segunda clasificación de estados en función del tipo de comportamiento de la cadena (los criterios de recurrencia y fugacidad).
Sea x un estado de la cadena, denotamos el tiempo para alcanzar x, denotado por TX, el primer instante en el que se visita x después de la salida. por convención, el tiempo de alcance es infinito si nunca llegamos a x. La fórmula es la siguiente (usaremos las notaciones clásicas para las probabilidades):
Si la cadena comienza en el estado x, usamos el término tiempo de retorno.
Se dice que un estado x es recurrente si:
Se dice que el estado x es transitorio o transitorio de otro modo, es decir, cuando:
Un estado es recurrente si estamos seguros de volver a él, es transitorio si existe una probabilidad distinta de cero de no volver nunca a él y, por tanto, de dejarlo definitivamente.
Se dice que una clase de equivalencia es recurrente, respectivamente transitoria, si uno de sus vértices es recurrente, resp. transitorio.
Sea x cualquier estado que pertenezca a la clase de recurrencia C. Suponga
que existe y ∉ C tal que x → y y demostremos que tenemos una contradicción. Tenga en cuenta primero que y no conduce a ningún vértice de C, porque de lo contrario tendríamos y → x y, por lo tanto, x ↔ y e y ∈ C. Además, tenemos:
Sin embargo, la probabilidad de no volver ax está limitada inferiormente por la probabilidad de ir ay en un tiempo finito (ya que y no conduce a ningún estado de C). Entonces, tenemos la siguiente relación:
Lo cual es una contradicción con x recurrente. Vemos que una clase recurrente es cerrada, pero lo contrario es falso en general, aún se verifica si esta clase tiene una cardinalidad finita.
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