Análisis de sensibilidad posóptimo

Análisis de sensibilidad posóptimo

Cuando el solución básica Se analiza el óptimo del problema PL para responder preguntas sobre cambios en su formulación, el estudio se denomina análisis de sensibilidad post-óptimo.

Llamamos post-optimización a todas las técnicas que permiten obtener el óptimo del problema PL cuando ciertos datos han sufrido modificaciones.

Consideramos el problema de programación lineal general en su forma de stand art:

Este estudio puede estar motivado por varias razones:

• los datos del problema no se conocen con exactitud, en cuyo caso es importante determinar en qué medida esto afecta la solución propuesta;
• queremos evaluar las consecuencias de un cambio de política que modificaría los hechos del problema.

Costos marginales

Si el problema que se plantea consiste en transformar bienes para vender una producción con mejor beneficio y el máximo aumento de renta que resulta de la posibilidad de tener una unidad adicional de uno de los bienes, es el valor marginal de este bien. Muy a menudo, en este caso también se utiliza el coste marginal calificador.

Si una variable diferencia no es cero, en la solución óptima, significa que el bien correspondiente ya es excedente. Por lo tanto, tener una unidad adicional de este bien no tendrá influencia en el ingreso. los variable de holgura tiene valor marginal cero.

Por otro lado, si una variable de varianza es cero en la solución óptima, es porque el bien correspondiente está totalmente utilizado. Posteriormente, una variación en la disponibilidad generalmente influirá en los ingresos. Es por esto que esta variable de desviación cero en la solución óptima tiene un valor marginal distinto de cero, y este valor marginal especifica la variación de la función económica resultante del uso de una unidad adicional del bien asociado.

con el vector solución x * = (2,6). Atención, aquí la línea muestra el valor de Z y no de -Z (de ahí los valores positivos).

Podemos medir la sensibilidad de la solución óptima a un cambio en un término de línea o un coeficiente en el objetivo.

Estudio 1: variación en la función objetivo

La variación de un coeficiente en la función objetivo durante un cierto intervalo no conduce a una modificación de la solución óptima. Fuera de este intervalo, tenemos una nueva solución que en sí misma permanece óptima durante otro intervalo. Por tanto, podemos destacar un número finito de intervalos de variación para c_j, con en cada uno de ellos una solución invariante.

Cambiemos la función objetivo por max z '= 4 * x₁ + 5 * x₂. El valor de la función objetivo cambiará en x *₁ = 2, mientras que el vector solución no se modificará como se muestra en resolución de gráficos :

Asimismo, si c₁ cambia de 3 a 2, solo se modificará el valor de la función objetivo. Calcular el intervalo sobre el cual el coeficiente x *₁ es válida, necesitamos evolucionar la función objetivo hasta que sea paralela a las otras restricciones.

Cuando el problema es de gran dimensión, es posible calcular la variación del costo usando el simplex agregando un delta sobre el costo para variar como en el siguiente ejemplo:

La solución sigue siendo óptima siempre que la línea de -Z tenga números negativos, así que si:

Estudio 2: variación en la segunda extremidad

Cuando el segundo miembro de una restricción varía (dentro de un cierto intervalo), si esta restricción no estaba saturada, entonces la solución no cambia y tampoco el valor óptimo de la función objetivo. Este resultado es obvio ya que la solución óptima que no satisface la restricción con igualdad, se puede variar (un poco) el segundo miembro sin "tocar" la solución óptima.

Por otro lado, si la restricción se verificó con igualdad en el óptimo, se tiene un intervalo de variación para el segundo miembro como:

• La solución cambia, pero las variables cero siguen siendo cero y las variables distintas de cero siguen siendo distintas de cero: la estructura de la solución no cambia.
• La variación del segundo miembro i provoca una variación del valor óptimo de la función objetivo igual a u_I* D_I, por lo tanto proporcional ad_I.

Si dejamos el intervalo, tenemos un nuevo coste dual. Así, podemos resaltar un número finito de intervalos de variación para el segundo miembro con, en cada uno de ellos, un valor para el costo dual. En los diferentes intervalos, el análisis de sensibilidad no da la solución óptima ya que los valores numéricos de las variables dependen del valor exacto del segundo miembro.

Considere en el ejemplo que b₁ = 4 se convierte en b '₁ = 5. Hagamos una resolución gráfica del nuevo problema:

¿Cuándo es la disminución en b₁ ? Como explica la explicación sobre los costos marginales, disminuir 1 del segundo miembro hace que el valor de la función objetivo disminuya en una cantidad igual al costo marginal. Entonces, disminuir 1 no resultará en un cambio.

Para conocer las posibilidades de evolución del stock sin cambiar el valor de la solución óptima, es necesario agregar un delta en el segundo miembro estudiado como se muestra en el siguiente ejemplo:

La solución sigue siendo óptima siempre que el simplex no esté degenerado, es decir, el segundo miembro sea positivo:

Considere ahora un aumento del tercer segundo miembro ab '₃ = 19. Dado que el costo marginal no es cero, la solución óptima se modificará como se muestra en la resolución gráfica.

Estudio 3: variación de variables no base

Volvamos al ejemplo anterior con una nueva restricción y una nueva variable:

Tenemos el siguiente costo reducido: d₃ = -2. Esto significa que para construir una unidad de x₃  disminuiría el valor de la función objetivo en 2 (ya que está fuera de la base x *₃ = 0).

Estudio 4: variación en la producción

De hecho, al agregar una variable delta en el costo de la variable basada en la restricción objetivo, entonces es suficiente inyectar el vector óptimo y resolver la ecuación como en el siguiente ejemplo: