{"id":6422,"date":"2018-06-20T09:45:21","date_gmt":"2018-06-20T08:45:21","guid":{"rendered":"http:\/\/smart--grid.net\/?page_id=6422"},"modified":"2022-12-03T23:00:45","modified_gmt":"2022-12-03T22:00:45","slug":"loi-invariante-et-comportement-asymptotique","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/proceso-de-markov\/ley-invariante-y-comportamiento-asintotico\/","title":{"rendered":"Ley invariable y comportamiento asint\u00f3tico"},"content":{"rendered":"<div data-elementor-type=\"wp-page\" data-elementor-id=\"6422\" class=\"elementor elementor-6422\">\n\t\t\t\t\t\t<section class=\"elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-953d150 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default\" data-id=\"953d150\" data-element_type=\"section\" data-e-type=\"section\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-container elementor-column-gap-default\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-column 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Markov<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-33 elementor-top-column elementor-element elementor-element-61ca07a\" data-id=\"61ca07a\" data-element_type=\"column\" data-e-type=\"column\">\n\t\t\t<div class=\"elementor-widget-wrap elementor-element-populated\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-35625b8 elementor-align-justify elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"35625b8\" data-element_type=\"widget\" data-e-type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm\" href=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<span 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elementor-element elementor-element-3edadbf8 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default\" data-id=\"3edadbf8\" data-element_type=\"section\" data-e-type=\"section\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-container elementor-column-gap-default\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-100 elementor-top-column elementor-element elementor-element-7c774bef\" data-id=\"7c774bef\" data-element_type=\"column\" data-e-type=\"column\">\n\t\t\t<div class=\"elementor-widget-wrap elementor-element-populated\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-4fa178e4 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"4fa178e4\" data-element_type=\"widget\" data-e-type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\n<div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_82_2 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-grey ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\">\n<p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Contenido<\/p>\n<span class=\"ez-toc-title-toggle\"><a href=\"#\" class=\"ez-toc-pull-right ez-toc-btn ez-toc-btn-xs ez-toc-btn-default ez-toc-toggle\" aria-label=\"Tabla de contenido alternativo\"><span class=\"ez-toc-js-icon-con\"><span class=\"\"><span class=\"eztoc-hide\" style=\"display:none;\">Palanca<\/span><span class=\"ez-toc-icon-toggle-span\"><svg style=\"fill: #999;color:#999\" xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/2000\/svg\" class=\"list-377408\" width=\"20px\" height=\"20px\" viewbox=\"0 0 24 24\" fill=\"none\"><path d=\"M6 6H4v2h2V6zm14 0H8v2h12V6zM4 11h2v2H4v-2zm16 0H8v2h12v-2zM4 16h2v2H4v-2zm16 0H8v2h12v-2z\" fill=\"currentColor\"><\/path><\/svg><svg style=\"fill: #999;color:#999\" class=\"arrow-unsorted-368013\" xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/2000\/svg\" width=\"10px\" height=\"10px\" viewbox=\"0 0 24 24\" version=\"1.2\" baseprofile=\"tiny\"><path d=\"M18.2 9.3l-6.2-6.3-6.2 6.3c-.2.2-.3.4-.3.7s.1.5.3.7c.2.2.4.3.7.3h11c.3 0 .5-.1.7-.3.2-.2.3-.5.3-.7s-.1-.5-.3-.7zM5.8 14.7l6.2 6.3 6.2-6.3c.2-.2.3-.5.3-.7s-.1-.5-.3-.7c-.2-.2-.4-.3-.7-.3h-11c-.3 0-.5.1-.7.3-.2.2-.3.5-.3.7s.1.5.3.7z\"\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/a><\/span><\/div>\n<nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/proceso-de-markov\/ley-invariante-y-comportamiento-asintotico\/#Loi-invariante-et-comportement-asymptotique\" >Ley invariable y comportamiento asint\u00f3tico<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/proceso-de-markov\/ley-invariante-y-comportamiento-asintotico\/#Idee\" >Idea<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/proceso-de-markov\/ley-invariante-y-comportamiento-asintotico\/#Periodicite\" >Periodicidad<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/proceso-de-markov\/ley-invariante-y-comportamiento-asintotico\/#Loi-invariante\" >Ley invariante<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/proceso-de-markov\/ley-invariante-y-comportamiento-asintotico\/#Calcul-exacte-de-la-mesure\" >C\u00e1lculo exacto de la medida<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" href=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/proceso-de-markov\/ley-invariante-y-comportamiento-asintotico\/#Calcul-exacte-de-la-mesure-cas-non-ergodique\" >C\u00e1lculo exacto de la medida (caso no erg\u00f3dico)<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Loi-invariante-et-comportement-asymptotique\"><\/span>Ley invariable y comportamiento asint\u00f3tico<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p>Buscamos comprender el comportamiento asint\u00f3tico de una cadena de Markov homog\u00e9nea. Es decir el l\u00edmite de las probabilidades de transici\u00f3n Q<sup>no<\/sup>(i, j) cuando n se vuelve muy grande (la ley invariante).<\/p>\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Idee\"><\/span>Idea<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n<p>Buscamos responder a la siguiente pregunta: &quot;\u00bfCu\u00e1l es la probabilidad de que despu\u00e9s de n<br \/>ah\u00ed no <a href=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/proceso-de-markov\/cadenas-de-markov-en-tiempo-discreto\/\">cadena de markov<\/a> estar en un estado dado? &quot;. Tome la siguiente matriz de transici\u00f3n P:<\/p>\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-6570\" src=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/proba9.png\" alt=\"ley invariante\" width=\"128\" height=\"81\" title=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n\n<p>Suponga que ninguna de las m\u00e1quinas se apaga el primer d\u00eda. Luego tenemos como vector inicial (1, 0), para calcular la siguiente distribuci\u00f3n multiplicamos el vector inicial por P, etc. Lo que da los siguientes resultados:<\/p>\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-6571\" src=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/proba10.png\" alt=\"ley invariante\" width=\"397\" height=\"197\" title=\"\" srcset=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/proba10.png 397w, https:\/\/complex-systems-ai.com\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/proba10-300x149.png 300w\" sizes=\"(max-width: 397px) 100vw, 397px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n<p>Esto significa que despu\u00e9s de 10 iteraciones, si consideramos que partimos del estado 0, tenemos 99% en el estado 0 y 1% en el estado 1. Esto tambi\u00e9n se puede interpretar de la siguiente manera: en una poblaci\u00f3n inicial, considerando la distribuci\u00f3n inicial por el vector (1,0), entonces 99% de la poblaci\u00f3n estar\u00e1 en el estado 0 y 1% en el estado 1.<\/p>\n\n<p>Observamos que la cuarta y la d\u00e9cima iteraci\u00f3n tienen resultados similares (aqu\u00ed id\u00e9nticos a 4 d\u00edgitos significativos). Entonces hablamos de una ley de convergencia, y esta ley no depende de la distribuci\u00f3n en el origen.<\/p>\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Periodicite\"><\/span>Periodicidad<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n<p>Tomemos el ejemplo de la siguiente matriz P = {0, 1; 1, 0}. Observamos que P\u00b2 = Id lo que implica la siguiente relaci\u00f3n: \u2200n\u2208\u039d, P<sup>2n + 1<\/sup>= P.<\/p>\n\n<p>Tal cadena no converge, decimos que es 2-peri\u00f3dica o de per\u00edodo 2.<\/p>\n\n<div style=\"padding: 5px; background-color: #d5edff; border: 2px solid #3c95e8; -moz-border-radius: 9px; -khtml-border-radius: 9px; -webkit-border-radius: 9px; border-radius: 9px;\">Se dice que una cadena es k-peri\u00f3dica sif: \u2200 (n, k) \u2208\u039d\u00b2, P<sup>kn + 1<\/sup>= P. Todos los estados de una clase tienen el mismo per\u00edodo.<\/div>\n\n<div style=\"padding: 5px; background-color: #d5edff; border: 2px solid #3c95e8; -moz-border-radius: 9px; -khtml-border-radius: 9px; -webkit-border-radius: 9px; border-radius: 9px;\">Se dice que un estado x es aperi\u00f3dico si P<sup>no<\/sup>(x, x)&gt; 0. Si P es irreductible y tiene al menos un estado aperi\u00f3dico, entonces todos los estados son aperi\u00f3dicos.<\/div>\n\n<p>Antes de calcular la ley invariante de una cadena de Markov, es necesario verificar que esta \u00faltima es irreducible y aperi\u00f3dica (tambi\u00e9n llamada erg\u00f3dica).<\/p>\n\n<p>Por tanto, una cadena es erg\u00f3dica si se puede alcanzar cualquier estado desde cualquier otro estado y para una potencia P<sup>k<\/sup> todos los elementos son estrictamente positivos. Por tanto, es posible pasar de un estado a otro en como m\u00e1ximo k etapas, independientemente de los puntos de inicio y finalizaci\u00f3n. Una cadena erg\u00f3dica tiene una ley invariante (cuidado, tambi\u00e9n es posible calcular la distribuci\u00f3n estacionaria de las otras cadenas, entonces la interpretaci\u00f3n no es la misma).<\/p>\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Loi-invariante\"><\/span>Ley invariante<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n<p>Se dice que una medida de probabilidad \u03c0 es invariante o estacionaria si para una matriz de transici\u00f3n P tenemos \u03c0P = \u03c0. Tenga en cuenta que dado que \u03c0 es una medida, la suma de estos t\u00e9rminos es igual a 1.<\/p>\n\n<p>Sea (Xn) que define una cadena de Markov homog\u00e9nea con P una matriz de transici\u00f3n aperi\u00f3dica irreducible que tiene una medida invariante \u03c0. Entonces :<\/p>\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>P (Xn = x) \u2192 \u03c0 (x) cuando n \u2192 \u221e para todo x<\/li>\n<li>pag<sup>no<\/sup>(x, y) \u2192 \u03c0 (y) cuando n \u2192 \u221e para todo x, y<\/li>\n<\/ul>\n\n<p>La velocidad de convergencia hacia la ley estacionaria es del orden de | \u03b6 |<sup>no<\/sup>\u00a0donde \u03b6 es el autovalor de P diferente de 1 y de mayor m\u00f3dulo (que es estrictamente menor que 1).<\/p>\n\n<p>Si la cadena es erg\u00f3dica (irreductible y aperi\u00f3dica) entonces todos los estados son alcanzables desde cualquier otro estado. Tal cadena tiene una ley invariante.<\/p>\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Calcul-exacte-de-la-mesure\"><\/span>C\u00e1lculo exacto de la medida<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n<p>Tomemos la definici\u00f3n \u00b5P = \u00b5 sabiendo que \u00b5 es estoc\u00e1stico (\u00a1y s\u00ed, cambi\u00e9 el nombre de la distribuci\u00f3n inicial!). Esto da el siguiente sistema lineal:<\/p>\n\n<div style=\"padding: 5px; background-color: #ffdcd3; border: 2px solid #ff7964; -moz-border-radius: 9px; -khtml-border-radius: 9px; -webkit-border-radius: 9px; border-radius: 9px;\">\n<figure><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-6423 size-full\" src=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/markov11.png\" alt=\"ley invariante\" width=\"233\" height=\"74\" title=\"\"><\/figure>\n<p>Una medida \u00b5 en E es invariante (para P) si \u00b5 = \u00b5P, es decir, para todo y \u2208 E<\/p>\n<p>Hablamos de ley invariante si adem\u00e1s \u00b5 es una probabilidad (\u00b5 (E) = 1). Tambi\u00e9n decimos ley \/ probabilidad invariante \/ estacionaria.<\/p>\n<\/div>\n\n<p>Dada la relaci\u00f3n \u00b5<sub>n + 1<\/sub> = \u00b5<sub>no<\/sub>P, vemos inmediatamente que, si \u00b5 es una ley invariante y X<sub>0<\/sub> \u223c \u00b5, luego X<sub>no<\/sub> \u223c \u00b5 para todos los n. Tambi\u00e9n notamos que \u00b5 no depende del vector de distribuci\u00f3n inicial.<\/p>\n\n<p>Tomemos, por ejemplo, una cadena de Markov de tres estados, cuya matriz de transici\u00f3n es la siguiente:<\/p>\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-6572\" src=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/proba11.png\" alt=\"ley invariante\" width=\"145\" height=\"69\" title=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n\n<p>Notamos de inmediato que la matriz forma una cadena irreductible y aperi\u00f3dica, ya que todos los estados se comunican y que p<sub>ii<\/sub>\u00a0&gt; 0. Buscamos resolver el sistema \u00b5P = \u00b5 con para la soluci\u00f3n \u00b5 * = (p, q, r) tal que p + q + r = 1 y 0 &lt;p,q,r &lt;1 ce qui donne les \u00e9quations suivantes :<\/p>\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-6573\" src=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/proba12.png\" alt=\"ley invariante\" width=\"227\" height=\"88\" title=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n\n<p>Encontramos como soluci\u00f3n el vector \u00b5 * = (2\/53, 10\/53, 41\/53).<\/p>\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Calcul-exacte-de-la-mesure-cas-non-ergodique\"><\/span>C\u00e1lculo exacto de la medida (caso no erg\u00f3dico)<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n<p>Considere la siguiente cadena de Markov<\/p>\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-6574\" src=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/proba13.png\" alt=\"ley invariante\" width=\"579\" height=\"341\" title=\"\" srcset=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/proba13.png 579w, https:\/\/complex-systems-ai.com\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/proba13-300x177.png 300w\" sizes=\"(max-width: 579px) 100vw, 579px\" \/><\/figure>\n\n<p>Encontramos que el estado 1 forma un <a href=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/proceso-de-markov\/criterios-de-recurrencia-y-transicion\/\">clase de transici\u00f3n<\/a>, el estado 2 forma una clase absorbente y los estados 3, 4 forman una clase recurrente. Hagamos el an\u00e1lisis del comportamiento asint\u00f3tico sin tener en cuenta su car\u00e1cter no erg\u00f3tico (sin garant\u00eda de convergencia).<\/p>\n\n<p>Resolvamos el siguiente sistema:<\/p>\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-6575\" src=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/proba14.png\" alt=\"ley invariante\" width=\"426\" height=\"160\" title=\"\" srcset=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/proba14.png 426w, https:\/\/complex-systems-ai.com\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/proba14-300x113.png 300w\" sizes=\"(max-width: 426px) 100vw, 426px\" \/><\/figure>\n\n<p>El sistema no permite una sola soluci\u00f3n. Sea \u03b1 entre 0 y 1, entonces encontramos una soluci\u00f3n admitiendo que \u03b1 es una soluci\u00f3n de \u03c02:<\/p>\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-6576\" src=\"https:\/\/complex-systems-ai.com\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/proba15.png\" alt=\"ley invariante\" width=\"166\" height=\"140\" title=\"\"><\/figure>\n\n<p>Observamos en la clase {3,4} que las probabilidades son iguales en una frecuencia de 2k, deducimos que la clase es peri\u00f3dica durante un per\u00edodo de 2 (que podr\u00edamos haber calculado por la potencia de la matriz). La clase {2} es absorbente, no hay per\u00edodo. La clase {1} es transitoria, por lo que no hay m\u00e1s poblaci\u00f3n despu\u00e9s de un tiempo k.<\/p>\n\n<p>En el caso de una cadena no peri\u00f3dica, es posible deducir del comportamiento asint\u00f3tico las clases de los estados as\u00ed como las periodicidades de las clases y de la cadena.<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Proceso de Markov P\u00e1gina principal Wiki Dificultad Promedio 50% Ley invariante y comportamiento asint\u00f3tico Buscamos entender el comportamiento asint\u00f3tico de una cadena de Markov... <\/p>","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":5007,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-6422","page","type-page","status-publish","hentry"],"amp_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6422","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6422"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6422\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":18623,"href":"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6422\/revisions\/18623"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/5007"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/complex-systems-ai.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6422"}],"curies":[{"name":"gracias","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}