Марковский процесс

  • Случайная прогулка
  • мартингейл
  • Броуновское движение

Марковский процесс

Марковский процесс представляет собой любой процесс, имеющий аргументы случайного опыта.

Случайный эксперимент, отметил Е, — это эксперимент, результат которого зависит от случая. Обозначим через Ω множество всех полученные результаты возможным для этого опыта, и называется вселенной, пространством возможностей или даже пространством состояний. Результатом E является элемент Ω, обозначаемый ω.

Например, в игре «Орел или решка» вселенная опыта «подбрасывания монеты» представляет собой Ω={P, F}. Для эксперимента «подбрасывание двух монет одну за другой» вселенная имеет вид Ω={PP, PF, FP, FF}.

Случайное событие A, связанное с экспериментом E, является подмножеством Ω, о котором мы можем сказать с учетом эксперимента, реализуется оно или нет. В предыдущем примере случайное событие «выпадение орла» или «решки» можно легко наблюдать, подбрасывая монету. Случайное событие представляет собой множество и поэтому обладает основными свойствами теории множеств.

Элементарные операции над частями множества:

  • Пересечение: пересечение множеств A и B, отмеченное A ∩ B, является множеством
    точки, принадлежащие как А, так и В.
  • Union: объединение двух множеств A и B, обозначаемое A∪B, представляет собой множество
    точек, принадлежащих хотя бы одному из двух множеств.
  • Пустой набор: пустой набор, обозначаемый Ø, представляет собой набор, не содержащий
    элемент.
  • Непересекающиеся множества: множества A и B называются непересекающимися, если A ∩ B = Ø.
  • Дополнительный: дополнение множества A ⊂ Ω в Ω, обозначаемое Aпротив где Q\At — множество элементов, не принадлежащих A. Множества A
    и Апротив не пересекаются.

Установить операции:

  • Нет: реализация события, противоположного А, представлена Апротив:
    Результат эксперимента не принадлежит А.
  • И: событие «А и В реализуются» представлено А∩В; результат
    опыт есть и в А, и в Б.
  • Или: событие «А или В реализуются» представлено через А∪В; результат
    опыт находится либо в A, либо в B, либо в обоих.
  • Импликация: тот факт, что реализация события А приводит к реализации
    B переводится в A ⊂ B.
  • Несовместимость: если A ∩ B = Ø, говорят, что A и B несовместимы. Результат
    опыт не может находиться в А и Б одновременно.

С каждым событием мы пытаемся связать меру (которую мы не будем определять в этом курсе) между 0 и 1 и представляющую вероятность того, что событие произойдет. Для эксперимента А это измерение обозначается как Р(А).

Формально пусть E — случайный опыт вселенной Ω. Мы называем вероятностной мерой на Ω (или проще вероятностью) отображение P, которое ставит в соответствие любому случайному событию A действительное число P(A) такое, что
(i) Для любого A такого, что P(A) существует, мы имеем 0 ⩽ P(A) ⩽ 1.
(ii) P(Ø) = 0 и P(Ω) = 1.
(iii) А∩В=; следует, что P(A ∪B) = P(A)+P(B).

Вероятность события можно понимать как P(A)=количество возможных случаев/количество возможных случаев. «Число случаев» — это кардинал события/вселенной.

Случайные величины и вероятность

Случайная величина – это функция, значение которой зависит от результата
случайный эксперимент E вселенной Ω. Случайная величина X называется дискретной, если она принимает конечное или счетное число значений. Множество исходов ω, при которых X принимает фиксированное значение x, образует событие {ω: X(ω) = x}, которое мы отмечаем [X = x]. Вероятность этого события обозначается P(X = x).

Функция рИкс : x → P(X = x) называется законом случайной величины X. Если {x1,Икс2,…} — множество возможных значений для X, имеем:

Вероятность марковского процесса

Давайте2 количество стопок, полученных при подбрасывании двух монет. Множество возможных значений S2 равно {0,1,2}. Если мы наделим вселенную Ω, связанную с этим случайным экспериментом, равномерной вероятностью P, придут следующие решения:

вероятность

Когда оно существует (ожидание всегда определяется, если X принимает конечное число значений или если X имеет положительные значения), мы называем ожиданием или средним значением дискретной случайной величины X величину, обозначаемую E(X), определяемую формулой:

вероятностное ожидание

Когда она существует, мы называем дисперсию дискретной случайной величины X
отмеченная величина Var(X), определяемая как:

дисперсия вероятности

Основная идея обусловливания заключается в следующем: дополнительная информация об опыте изменяет вероятность, которую человек придает изучаемому событию.

Например, при броске двух игральных костей (одного красного и одного синего) вероятность выпадения
событие "сумма больше или равна 10" стоит 1/6 без информации
дополнительный. С другой стороны, если мы знаем, что на красном кубике выпало 6,
равно 1/2, в то время как оно равно 0, если результат красного кубика равен 2.

Пусть P — вероятностная мера на Ω, а B — событие такое, что P(B) > 0.
условная вероятность того, что A знает B, является реальным P (A | B), определяемым формулой:

условная возможность

События А и В называются независимыми, если:

независимая вероятность

Мы можем расширить независимые до n событий. Пусть А1, ИМЕЕТ2,…, ИМЕЕТнет События. Они называются независимыми (в целом), если для всех k ∈ {1,…,n} и любого множества различных целых чисел {i1,…,як } ⊂ {1,…n}, имеем:

независимая вероятность

Случайные величины могут быть независимыми попарно, не будучи независимыми в целом:

независимая вероятность
Делиться
ru_RURU
%d такие блоггеры, как: