Критерии рецидива и быстротечности

Сложность
Легкий 25%

Критерии рецидива и быстротечности

Мы собираемся изучить вторую классификацию состояний в зависимости от типа поведения цепи (критерии повторяемости и быстротечности).

Пусть x — состояние цепи, обозначим время достижения x, обозначенное TИкс, первый момент x посещается после отправления. по соглашению время попадания бесконечно, если мы никогда не попадаем в x. Формула выглядит следующим образом (будем использовать классические обозначения вероятностей):

повторяемость и быстротечность

Если цепочка начинается с состояния x, мы используем термин времени возврата.

Состояние x называется рекуррентным, если:повторяемость и быстротечность

Состояние x называется переходным или переходным в противном случае, т.е. когда:

повторяемость и быстротечность

 

Состояние является повторяющимся, если мы уверены, что вернемся к нему, оно преходящим, если существует ненулевая вероятность никогда не вернуться к нему и, следовательно, покинуть его окончательно.

Класс эквивалентности называется рекуррентным, соответственно переходным, если одна из его вершин рекуррентна, соответственно. переходный.

Рекуррентный класс является закрытым, другими словами, вероятность выхода из рекуррентного класса равна нулю.

Пусть x — любое состояние, принадлежащее рекуррентному классу C. Предположим,
что существует y ∉ C такой, что x → y, и покажем, что имеем противоречие. Заметим сначала, что y не ведет ни к одной вершине C, потому что в противном случае мы имели бы y → x и, следовательно, x ↔ y и y ∈ C. Более того, мы имеем:

повторяемость и быстротечность

Однако вероятность не вернуться к x ограничена снизу вероятностью перехода к y за конечное время (поскольку y не приводит ни к какому состоянию C). Таким образом, мы имеем следующее соотношение:

повторяемость и быстротечность

Что противоречит рекуррентному x. Мы видим, что рекуррентный класс замкнут, но обратное, вообще говоря, неверно, оно все же верно, если этот класс имеет конечную мощность.

Важно сохранить следующее следствие: цепь маркова определенное на конечном пространстве состояний, допускает по крайней мере одно рекуррентное состояние.
 
Делиться
ru_RURU