Критерии рецидива и быстротечности

Критерии рецидива и быстротечности

Мы собираемся изучить вторую классификацию состояний в зависимости от типа поведения цепи (критерии повторяемости и быстротечности).

Пусть x — состояние цепи, обозначим время достижения x, обозначенное T_Икс, первый момент x посещается после отправления. по соглашению время попадания бесконечно, если мы никогда не попадаем в x. Формула выглядит следующим образом (будем использовать классические обозначения вероятностей):

Если цепочка начинается с состояния x, мы используем термин времени возврата.

Состояние x называется рекуррентным, если:

Состояние x называется переходным или переходным в противном случае, т.е. когда:

 

Состояние является повторяющимся, если мы уверены, что вернемся к нему, оно преходящим, если существует ненулевая вероятность никогда не вернуться к нему и, следовательно, покинуть его окончательно.

Класс эквивалентности называется рекуррентным, соответственно переходным, если одна из его вершин рекуррентна, соответственно. переходный.

Пусть x — любое состояние, принадлежащее рекуррентному классу C. Предположим,
что существует y ∉ C такой, что x → y, и покажем, что имеем противоречие. Заметим сначала, что y не ведет ни к одной вершине C, потому что в противном случае мы имели бы y → x и, следовательно, x ↔ y и y ∈ C. Более того, мы имеем:

Однако вероятность не вернуться к x ограничена снизу вероятностью перехода к y за конечное время (поскольку y не приводит ни к какому состоянию C). Таким образом, мы имеем следующее соотношение:

Что противоречит рекуррентному x. Мы видим, что рекуррентный класс замкнут, но обратное, вообще говоря, неверно, оно все же верно, если этот класс имеет конечную мощность.