Устойчивое состояние

Сложность
Средний 50%

Устойчивое состояние

В цепь маркова в непрерывном времени (и неприводимом в дискретном времени) вектор стационарных вероятностей всегда существует и не зависит от начального распределения (стационарное состояние). Этот вектор π является решением следующей системы:

устойчивое состояние

Система называется уравнениями баланса.

Пример

Две одинаковые машины работают непрерывно, если они не сломаны. При необходимости имеется мастер по ремонту техники.

Время ремонта следует экспоненциальному распределению со средним значением 0,5 дня. После ремонта время использования машины до следующей поломки имеет экспоненциальное распределение со средним значением 1 день. Мы предполагаем, что эти распределения независимы. Рассмотрим случайный процесс, определяемый количеством сбитых машин.

Рассмотрим случайную величину X(t'), описывающую количество машин, не работающих в момент времени t'. Состояния случайной величины: {0, 1, 2}. Время восстановления и время разрыва следуют экспоненциальному распределению, поэтому мы имеем дело с цепью Маркова с непрерывным временем. Время ремонта следует экспоненциальному распределению со средним значением 0,5 дня. Скорость ремонта обратная, т.е. 2 машины в день. Точно так же мы делаем вывод, что скорость мусора составляет 1 день. Когда работают две машины, частота поломок = машина 1 + машина 2 = 2.

В штатах описывается количество сбитых машин. Две машины не могут сломаться одновременно, поэтому q02 = 0. Ремонтник ремонтирует только одну машину за раз, поэтому q20 = 0. Скорость ремонта 2 машины в сутки. Частота поломок для машины составляет 1 машину в день и 2 в день, если обе машины работают. Что дает нам следующую цепь Маркова с непрерывным состоянием:

устойчивое состояние

Если мы возьмем уравнения баланса, то получим следующую систему:

устойчивое состояние

Что дает в качестве решения вектор (0,4, 0,4, 0,2). Если кто-то хочет вычислить среднее количество сломанных машин, достаточно вычислить математическое ожидание, поскольку состояния представляют количество сломанных машин: 0*0,4 + 1*0,4 + 2*0,2 = 0,8.

Делиться
ru_RURU