На этой странице показано несколько примеров использования различных средств, в частности среднего геометрического и среднего гармонического.
Среднее арифметическое названо соответствующим образом: мы находим его, складывая все числа в наборе данных, а затем делим на количество чисел в наборе данных (чтобы привести сумму к шкале исходных чисел).
3 + 8 + 10 = 21
21 ÷ 3 = 7
Среднее арифметическое = 7
Обратите внимание, что мы в основном говорим здесь: если бы каждое число в нашем наборе данных было одним и тем же числом, какое число должно было бы иметь ту же сумму, что и наш фактический набор данных?
Но в законопроекте нет ничего особенного. Это просто довольно простая математическая операция. Среднее арифметическое хорошо работает для получения «среднего» числа набора данных, когда между числами существует аддитивная связь.
Такое соотношение часто называют «линейным», потому что при построении графика в порядке возрастания или убывания числа имеют тенденцию падать на прямую линию или вокруг нее. Простым идеализированным примером может быть набор данных, в котором каждое число получается путем добавления 3 к предыдущему числу:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19...
Таким образом, среднее арифметическое дает нам вполне разумное медианное значение:
(1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19) ÷ 7 = 10
Но не все наборы данных лучше описываются этой линейной регрессией. Некоторые имеют мультипликативную или экспоненциальную зависимость, например, если мы умножаем каждое последовательное число на 3, а не складываем на 3, как мы делали выше:
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729…
Получается так называемый геометрический ряд. Нарисованные по порядку, эти числа больше похожи на кривую, чем на прямую линию.
В этой ситуации среднее арифметическое не подходит для получения «среднего» числа для суммирования этих данных.
(1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729) ÷ 7 = 156.1
156 не особенно близок к большинству чисел в нашем наборе данных. На самом деле, это более чем в 5 раз превышает медиану (среднее число), равное 27.
Что делать в этом случае?
Среднее геометрическое
Поскольку отношение является мультипликативным, чтобы найти среднее геометрическое, мы умножаем, а не складываем все числа. Затем, чтобы масштабировать продукт до диапазона набора данных, нам нужно взять корень количества элементов, а не просто разделить.
Таким образом, среднее геометрическое нашего набора данных:
1 * 3 * 9 * 27 * 81 * 243 * 729 = 10,460,353,203
7-й корень из 10 460 353 203 = 27
среднее геометрическое = 27
В этом случае наше среднее геометрическое очень похоже на медианное значение нашего набора данных. На самом деле она равна медиане.
Среднее геометрическое не всегда будет равно медиане, только в тех случаях, когда существует точное и последовательное мультипликативное отношение между всеми числами (например, умножение каждого предыдущего числа на 3, как мы это сделали).
Реальные наборы данных редко содержат такие точные отношения, но для тех, которые приближаются к этому типу мультипликативных отношений, среднее геометрическое даст более близкое «медианное число», чем среднее арифметическое.
Пример среднего геометрического
Предположим, у нас есть 100 000 $, которые ежегодно в течение 5 лет генерируют переменную процентную ставку:
годовые процентные ставки: 1%, 9%, 6%, 2%, 15%
Мы хотели бы найти более короткий путь, чтобы найти нашу среднегодовую процентную ставку и, следовательно, нашу общую сумму денег через 5 лет, поэтому мы пытаемся «усреднить» эти ставки:
(0,01 + 0,09 + 0,06 + 0,02 + 0,15) ÷ 5 = 0,066 = 6.6%
Затем мы вставляем этот средний процент в формулу сложных процентов:
Общая сумма полученных процентов = $100 000 * (1,066⁵ - 1) = $37 653,11
Проценты + основная сумма = $37 653,11 + 100 000 = $137 653,11
окончательная сумма = $137,653.11
Давайте сравним их полученные результаты :
1 год: 100,000 + (100,000 * .01) = 100,000 * 1.01 = $101,0002 год: 101,000 * 1.09 = $110,0903 год: 110,090 * 1.06 = $116,695.404 год: 116,695.40 * 1.02 = $119,029.315 год: 119,029.31 * 1.15 = $136,883.70Фактическая итоговая сумма = $136,883.70
Наш ярлык переоценил наши фактические доходы почти на 1000 $.
Мы совершили распространенную ошибку: применили аддитивную операцию к мультипликативному процессу и получили неточный результат.
Попробуем еще раз со средним геометрическим:
1.01 * 1.09 * 1.06 * 1.02 * 1.15 = 1.368837042
5-й корень из 1,368837042 = 1,064805657
среднее геометрическое = 1.064805657
Подставьте среднее геометрическое процентных ставок в нашу формулу сложных процентов:
Общая сумма полученных процентов = $100 000 * (1,0648⁵ - 1) = $36 883,70
Проценты + основная сумма = $36 883,70 + 100 000 = $136 883,70
окончательная сумма = $136,883.70 точно так же, как длинный метод выше
Что соответствует действительности!
Среднее геометрическое и изменение масштаба
Отличительной особенностью среднего геометрического является то, что вы можете усреднять числа в совершенно разных масштабах.
Например, мы хотим сравнить онлайн-рейтинги двух кофеен, используя два разных источника. Проблема в том, что источник 1 использует 5-звездочную шкалу, а источник 2 использует 100-балльную шкалу:
Кофейня А
источник 1рейтинг:4,5весна 2рейтинг:68Кофейня Б
источник 1рейтинг:3весна 2рейтинг:75
Если мы наивно возьмем среднее арифметическое исходных оценок каждой кофейни:
Кофейня А =
(4.5 + 68) ÷ 2 = 36.25Кофейня Б =(3 + 75) ÷ 2 = 39
Мы пришли бы к выводу, что Coffeeshop B стал победителем.
Если бы мы знали числа немного лучше, мы бы знали, что нам нужно нормализовать наши значения по той же шкале, прежде чем усреднять их со средним арифметическим, чтобы получить точный результат. Таким образом, мы умножаем рейтинги из Источника 1 на 20, чтобы масштабировать их от 5-звездочной шкалы до 100-звездочной шкалы из Источника 2:
Кофейня А
4.5 * 20 = 90
(90 + 68) ÷ 2 = 79Кофейня Б
3 * 20 = 60
(60 + 75) ÷ 2 = 67.5
Таким образом, мы обнаруживаем, что Coffeeshop A является истинным победителем, в отличие от наивного применения среднего арифметического выше.
Однако среднее геометрическое позволяет нам прийти к тому же вывод не беспокоясь о масштабе или единицах измерения:
Кофейня А =
квадратный корень из (4,5 * 68) = 17.5Кофейня Б =квадратный корень из (3 * 75) = 15
И вот!
В среднем арифметическом преобладают более крупные числа, что заставляет нас думать, что Coffeeshop B является магазином с самым высоким рейтингом. Это связано с тем, что среднее арифметическое предполагает аддитивную связь между числами и игнорирует масштабы и пропорции. Отсюда необходимость ставить числа на одну шкалу перед применением среднего арифметического.
Среднее геометрическое, с другой стороны, может легко обрабатывать различные пропорции из-за его мультипликативной природы. Это чрезвычайно полезное свойство, но обратите внимание, что мы теряем: у нас вообще нет интерпретируемой шкалы. В таких ситуациях среднее геометрическое фактически безразмерно.
А гармоническое среднее?
В то время как среднее арифметическое требует сложения, а среднее геометрическое использует умножение, среднее гармоническое использует обратное.
Как вы помните, обратное число n равно просто 1/n. (например, обратное число 5 равно 1/5). Для чисел, которые уже являются дробями, это означает, что вы можете просто «перевернуть» числитель и знаменатель: инверсия 4/5 = 5/4. Это верно, потому что 1, деленная на дробь, дает обратную дробь, например. 1 ÷ (4/5) = 5/4.
Таким образом, среднее гармоническое можно описать словами: инверсия среднего арифметического инверсий набора данных.
Это действительно всего несколько простых шагов:
1. Возьмите обратное значение всех чисел в наборе данных.
2. Найдите среднее арифметическое этих обратных величин.
3. Возьмите обратную величину этого числа.
В математической записи это выглядит так:
Среднее гармоническое 1, 4 и 4 равно 2.
Примечание. Поскольку 0 не имеет обратного значения (ничто не может быть умножено на 0 для = 1), среднее гармоническое также не может обрабатывать наборы данных, содержащие 0, как среднее геометрическое.
Но для чего это?
Пример гармонического среднего
Опять же, аналогично использованию среднего геометрического в качестве аналога среднего арифметического для мультипликативных или нелинейных отношений, среднее гармоническое помогает нам находить мультипликативные/делительные отношения между дробями, не беспокоясь об общих знаменателях.
Таким образом, среднее гармоническое естественным образом принимает еще один слой умножения/деления поверх среднего геометрического. Поэтому он полезен при работе с наборами данных о скоростях или соотношениях (т. е. дробях) за разную длину или периоды времени.
Канонический пример использования гармонических средств в реальном мире предполагает путешествие в физическом пространстве с разной скоростью, т.е. скоростями.
Рассмотрим поездку в продуктовый магазин и обратно:
- По дороге вы ехали со скоростью 30 миль в час всю дорогу
- На обратном пути движение было медленным, и всю дорогу вы ехали со скоростью 16 км/ч.
- Вы выбрали один и тот же маршрут и преодолели одинаковое расстояние (5 миль) в каждую сторону.
Какова была ваша средняя скорость за все время этой поездки?
Опять же, мы могли бы наивно применить среднее арифметическое к 30 милям в час и 10 милям в час и с гордостью объявить «20 миль в час!» »
Поскольку вы двигались быстрее в одном направлении, вы проехали эти 8 км быстрее и потратили меньше времени на поездку с этой скоростью, поэтому ваша средняя скорость движения за все время вашей поездки n Это не средняя точка между 30 и 10 милями в час, она должна быть ближе к 10 милям в час, потому что вы потратили больше времени на эту скорость.
Чтобы правильно применить здесь среднее арифметическое, нам нужно определить время, затраченное на поездку по каждому тарифу, а затем соответствующим образом взвесить наш расчет среднего арифметического:
Поездка туда: (при скорости 30 миль в час)
30 миль за 60 минут = 1 миля каждые 2 минуты = 1/2 мили каждую минуту
5 миль при скорости 1/2 мили в минуту = 5 ÷ 1/2 = 10 минут
Время "Поездки туда" = 10 минут
Поездка обратно: (при 10 милях в час)
10 миль за 60 минут = 1 миля каждые 6 минут = 1/6 мили каждую минуту
5 миль при скорости 1/6 мили в минуту = 5 ÷ 1/6 = 30 минут
Время «путешествия назад» = 30 минут
Общее время поездки = 10 + 30 = 40 минут
«Поездка туда» % от общей поездки = 10/40 минут = 0,25 = 25%
«Поездка назад» % от общей поездки = 30 / 40 минут = 0,75 = 75%
Взвешенное среднее арифметическое = (30 миль в час * 0,25) + (10 миль в час * 0,75) = 7,5 + 7,5 = 15
Средняя скорость движения = 15 миль в час
Таким образом, мы видим, что наша истинная средняя скорость движения составила 15 миль в час, что на 5 миль в час (или 25 %) меньше, чем наше наивное заявление о 20 милях в час с использованием невзвешенного среднего арифметического.
Попробуем еще раз, используя среднее гармоническое.
Гармоническое среднее из 30 и 10 = ...
Среднее арифметическое из взаимные = 1/30 + 1/10 = 4/30 ÷ 2 = 4/60 = 1/15
взаимный из среднее арифметическое = 1 ÷ 1/15 = 15/1 = 15
И вот!
RU 
FR 
EN 
ES