Линейное моделирование (упражнения)

Вот неисправленные упражнения, касающиеся линейное моделирование.

Учебник по линейному моделированию

Компания производит два продукта А и В, используя машину m и два вида сырья p и q. Каждый день у нас есть 8 часов м, 10 кг р и 36 кг д. Мы думаем, что:

• производство единицы А требует 2 кг р и 9 кг q и использует машину m в течение 1 часа;
• производство единицы В требует 2 кг р и 4 кг q, а машина m использует 2 часа;
• полученная прибыль составляет 50 евро за единицу А и 60 евро за единицу В.

Цель, которую преследует компания, состоит в том, чтобы максимизировать прибыль, которую она может получить в день от этих двух продуктов, максимально используя свои ресурсы.

1. Напишите таблицу, чтобы обобщить информацию
2. Определить переменные
3. Установить ограничения
4. Определите целевую функцию

Коррекция

1. В следующей таблице приведены данные, относящиеся к этой производственной проблеме:

2. Здесь неизвестны два данных: количество продукта А, которое необходимо произвести, и количество продукта В, которое необходимо произвести. Назовем их соответственно x₁ и х₂. У нас есть две переменные в наших задачах решения.

3. Понять, как ограничиваются переменные решения. Для этого необходимо использовать данные в спецификациях.

• Ограничение машины m (первая строка): Время использования машины m для производства продуктов A и B не может превышать 8 доступных часов: m≤8.
  • Машина производит единицу А за 1 час.
  • Машина производит единицу B за 2 часа.
  • Переформулируем ограничение следующим образом: количество произведенных товаров А и В не превышает 8 часов.
  • Икс₁ + 2*х₂ ≤8
• Ограничение материала p: Количество материала p не может превышать 10 кг.
  • На единицу А расходуется 2 кг р
  • Единица B потребляет 2 кг p
  • Формулировка ограничения: количество продукта, используемого А и Б, не превышает 10 кг.
  • 2*х₁ + 2 * х₂ ≤ 10
• Ограничение материала q: аналогично заключаем, что количество продукта, используемого А (9 кг на единицу) и В (4 кг на единицу), не превышает 36 кг.
  • 9*х₁ + 4 *х₂ ≤ 36
• Ограничение положительности: отмечается, что текст не дает прямой информации о переменных решения. Однако логично, что последние положительны или равны нулю, кажется маловероятным получение -1 единицы А.
  • Икс₁ , Икс₂ ≥ 0

4. Целевая функция, как следует из ее названия, является целью промышленника: максимизировать свою прибыль. Мы знаем, что продажа единицы товара А приносит 50 долларов, а продажа единицы товара В приносит 60 долларов. Пусть z будет общей прибылью, тогда целевая функция max z = 50 * x₁ + 60 *х₂ .

в математическая модель линейный, отмеченный (P), можно резюмировать следующим образом:

Упражняться

Упражнение 1

Компания по производству шасси планирует выпустить две новые модели, используя возможности своих трех цехов. Это алюминиевая рама и деревянная рама соответственно. Первый продукт требует прохождения в первый цех по изготовлению алюминиевой рамы и в третий цех, где стекло монтируется на раму.

В то время как второе изделие требует прохода во второй цех по изготовлению деревянной рамы и в третий цех, где стекло монтируется на раму. Удельная прибыль, время производства каждого продукта в каждом из цехов, а также недельная производительность этих цехов приведены в следующей таблице:

Сформулируйте линейную задачу.

Упражнение 2

Производитель электроэнергии хочет, чтобы эти две атомные электростанции P и Q поставляли определенное количество энергии в города A, B и C. Минимальное количество энергии, которое должно быть удовлетворено, составляет 16 для A, 12 для B и 18 для C. Когда реактор продукции P он посылает 2 единицы продукции A, 1 единицу продукции B и 1 единицу продукции C; и стоит 20€ в день. 

Когда реактор Q производит, он отправляет 1 единицу в A, 1 единицу в B и 3 единицы в C; и это стоит 40 €. Производитель ищет самую дешевую комбинацию реакторов P и Q, которая будет соответствовать требованиям минимального потребления для городов A, B, C. Данные сведены в следующую таблицу:

Сформулируйте линейную задачу.

Подтвердите свои навыки

Последовательность упражнений ниже не является независимой, ограничения накапливаются или меняются от одной части к другой.

Материальные ограничения

Каждую неделю автомобильный завод получает 100 тонн алюминия и 80 тонн стали. Завод выпускает три вида строительной техники: Транспортная, Строительная, Крановая; продано соответственно за 250 тысяч евро, 300 тысяч евро и 400 тысяч евро.

Для производства Транспорта требуется 5 тонн алюминия и 3 тонны стали; для структурных работ требуется 3 тонны алюминия и 5 тонн стали; Кран требует по 5 тонн каждого. Сформулируйте линейную задачу, чтобы максимизировать прибыль завода.

Рыночные ограничения

Маркетинговая команда предупреждает завод о том, что производство автомобилей не поспевает за потребительским спросом. Изучив статистику продаж за последний год, финансовые аналитики вывели следующие данные: в среднем в неделю продается 10 Транспортов, при стандартном отклонении 2 автомобиля (достоверность 99%); он продает в среднем 8 основных работ в неделю со стандартным отклонением 4 автомобиля (достоверность 99%); он продает в среднем 4 крана в неделю со стандартным отклонением 1 крана (достоверность 99%). Сформулируйте задачу, чтобы максимизировать прибыль фабрики.

Ограничения персонала

Большая ошибка с вашей стороны, всегда желая максимизировать заработок, вы не учли рабочее время и комфорт рабочих! Последние справедливо заявляют, что производство откликается на их условия труда. Они разделены на три мастерских.

В литейном цехе работают два резервуара 24/24 и 6/7, 1 тонна алюминия плавится 30 минут, а 1 тонна стали плавится 1 час (каждый резервуар настроен для одного из двух металлов). Сборочная линия работает 15/24 часа и 6/7 дней, транспорт собирается за 5 часов, основная работа за 10 часов и кран за 10 часов. Цех отделки работает 24/7, отделка занимает 3 часа независимо от автомобиля. Сформулируйте задачу, чтобы максимизировать прибыль фабрики.

Новая переменная

Команда заводских разработчиков создала революционно новый автомобиль! Этому испытательному автомобилю требуется всего 2 тонны алюминия и 1 тонна стали по ориентировочной продажной цене 150 тысяч евро. Исследования рынка показывают, что в неделю можно продавать минимум 10 единиц. Этот автомобиль собирается за 4 часа, а отделка длится всего 2 часа. Сформулируйте задачу, чтобы максимизировать прибыль фабрики.