Modelado lineal
Retomemos las bases de la modelización lineal en el marco del problema lineal. Los pasos a seguir son los siguientes:
- ¿Cuáles son las variables? su tipo puede ser entero, flotante o binario.
- ¿Cuáles son las restricciones? como estamos en un modelo lineal, las variables están aisladas (es decir, solo un coeficiente puede modificar las variables, las operaciones de primer orden como la suma y la resta ponen las variables en relación).
- ¿Qué es la función objetivo? puede ser un minimización o una maximización; como estamos en un modelo lineal, las variables están aisladas.
- El problema de complejidad y el método de solución no se discutirá en este capítulo.
Ejemplo 1
Un industrial tiene tres fábricas aptas para la fabricación de dos productos. Cada lote de producto le reporta una determinada cantidad, y sabe el número de horas necesarias para fabricar cada tipo de lote en sus fábricas.
El industrial que quiere maximizar su beneficio, por lo tanto, es necesario encontrar la mejor producción posible.
Establezcamos variables de decisión:
- X1 = el número de lotes de producto 1
- X2 = el número de lotes de producto 2
Establezcamos las restricciones:
- X1 ≤ 4 (segunda fila de la tabla)
- 2 x2 ≤ 12 (tercera fila de la tabla)
- 3 veces1 + 2 x_2 ≤ 18 (cuarta fila de la tabla)
- X1 ≥ 0 y x2 ≥ 0 (el número de lotes es siempre positivo o cero)
Establezcamos la función objetivo:
- z = beneficio total (en miles de euros)
- z = 3 x1 + 5 x2 (según la última línea de la tabla)
- max z, es decir, buscamos el valor máximo que puede tomar z
que da la modelo matemático Próximo :
Lo que se puede representar desde un punto de vista gráfico por (el espacio de opciones está en gris):
Ejemplo 2
Ahora que el industrial sabe cómo optimizar su beneficio, busca minimizar sus gastos. Estos consisten únicamente en los salarios de los empleados y las horas de trabajo. El fabricante para estimar el número mínimo de empleados (MinEmp) a asignar durante cada período del día. Cada empleado debe trabajar en turnos para maximizar su tiempo de presencia, un día tiene cuatro turnos y estos últimos requieren una remuneración específica. El conjunto de datos se describe en la siguiente tabla:
Establezcamos variables de decisión:
- X1= el número de empleados en el primer turno
- X2= el número de empleados en el segundo trimestre
- X3= el número de empleados en el tercer trimestre
- X4= el número de empleados en el cuarto trimestre
- X5= el número de empleados en el quinto turno
Establezcamos las restricciones:
- X1 ≥ 48 (segunda fila de la tabla)
- X1 + x2 ≥ 79 (tercera fila de la tabla)
- etc.
Establezcamos la función objetivo:
- Z = el costo total
- Z = 170 x1 + 160 x2 + 175 x3+ 180 x4+ 195 x5 (según la última línea de la tabla)
- min Z, es decir, buscamos el valor mínimo que puede tomar Z
Lo que da el siguiente modelo matemático:
