- Caminata aleatoria
- Martingala
- movimiento browniano
Proceso de Markov
Un proceso de Markov representa cualquier proceso que tenga argumentos de experiencia aleatorios.
Un experimento aleatorio, señalado como E, es un experimento cuyo resultado está sujeto al azar. Observamos como Ω el conjunto de todos los resultados posibles de este experimento, y se llama universo, espacio de posibilidades o incluso espacio de estados. Un resultado de E es un elemento de Ω denotado ω.
Por ejemplo, en el juego cara o cruz, el universo de la experiencia de "tirar una moneda" es Ω={P, F}. Para el experimento "lanzar dos monedas una tras otra", el universo es Ω={PP, PF, FP, FF}.
Un evento aleatorio A relacionado con el experimento E es un subconjunto de Ω del cual podemos decir a la vista del experimento si se realiza o no. En el ejemplo anterior, el evento aleatorio "obtener cara" en cara o cruz se puede observar fácilmente lanzando una moneda. Un evento aleatorio es un conjunto y por lo tanto tiene las principales propiedades de la teoría de conjuntos.
Operaciones elementales sobre las partes de un conjunto:
- Intersección: la intersección de los conjuntos A y B notada A ∩B es el conjunto
puntos pertenecientes tanto a A como a B. - Unión: la unión de dos conjuntos A y B denotada A∪B es el conjunto de
puntos pertenecientes al menos a uno de los dos conjuntos. - Conjunto vacío: el conjunto vacío, denominado Ø, es el conjunto que no contiene
elemento. - Conjuntos disjuntos: se dice que los conjuntos A y B son disjuntos si A ∩B = Ø.
- Complementario: el complementario del conjunto A ⊂ Ω en Ω, denotado por Avs donde Ω \ A, es el conjunto de elementos que no pertenecen a A. Los conjuntos A
y Avs son disjuntos.
Establecer operaciones:
- No: la realización del evento contrario a A está representada por Avs: los
El resultado del experimento no pertenece a A. - Y: el evento “A y B se realizan” está representado por A∩B; el resultado de
la experiencia se encuentra tanto en A como en B. - O: el evento “A o B se realizan” está representado por A∪B; el resultado
la experiencia está en A o B o en ambos. - Implicación: el hecho de que la realización del evento A lleva a la realización
de B se traduce en A ⊂ B. - Incompatibilidad: si A∩B = Ø, se dice que A y B son incompatibles. Un resultado de
la experiencia no puede ser tanto en A como en B.
A cada evento se busca asociar una medida (que no definiremos en este curso) entre 0 y 1 y que represente la probabilidad de que ocurra el evento. Para un experimento A, esta medida se denota como P(A).
Formalmente, sea E un experimento aleatorio del universo Ω. Llamamos a una medida de probabilidad en Ω (o más simplemente probabilidad) una aplicación P que asocia con cualquier evento aleatorio A un número real P (A) tal que
(i) Para cualquier A tal que P (A) existe, tenemos 0 ≤ P (A) ≤ 1.
(ii) P (Ø) = 0 y P (Ω) = 1.
(iii) A∩B =; implica que P (A ∪B) = P (A) + P (B).
La probabilidad de un evento puede entenderse como P(A)=número de casos factibles/número de casos posibles. El "número de casos" es el cardinal de un evento/universo.
Variables aleatorias y probabilidad
Una variable aleatoria es una función cuyo valor depende del resultado de una
experimento aleatorio E del universo Ω. Se dice que una variable aleatoria X es discreta si toma un número finito o contable de valores. El conjunto de resultados ω en los que X toma un valor fijo x forma el evento {ω: X(ω) = x} que notamos [X = x]. La probabilidad de este evento se denota P(X = x).
La función pX : x → P (X = x) se llama ley de la variable aleatoria X. Si {x1, X2,…} es el conjunto de valores posibles para X, tenemos:
Deje S2 el número de pilas obtenidas al lanzar dos monedas. El conjunto de valores posibles para S2 es {0,1,2}. Si proporcionamos el universo Ω asociado con este experimento aleatorio con la probabilidad uniforme P, surgen las siguientes soluciones:
Cuando existe (la expectativa siempre se define si X toma un número finito de valores, o si X tiene valores positivos), llamamos expectativa o promedio de una variable aleatoria discreta X a la cantidad denotada por E(X) definida por:
Cuando existe, llamamos a la varianza de una variable aleatoria discreta X la
cantidad indicada Var (X) definida por:
La idea básica del condicionamiento es la siguiente: la información adicional sobre la experiencia modifica la probabilidad que se le otorga al evento estudiado.
Por ejemplo, para una tirada de dos dados (uno rojo y otro azul), la probabilidad de
el evento "la suma es mayor o igual a 10" es igual a 1/6 sin información
adicional. Por otro lado, si sabemos que el resultado del dado rojo es 6, es
igual a 1/2 mientras que es igual a 0 si el resultado del dado rojo es 2.
Sea P una medida de probabilidad en Ω y B un evento tal que P (B)> 0. El
probabilidad condicional de que A conozca a B es el P (A | B) real definido por:
Se dice que los eventos A y B son independientes si:
Podemos extender la independiente a n eventos. Sea A1, PARA2,…, POSEEno eventos. Se dice que son independientes (como un todo) si para todo k ∈ {1,…,n} y para cualquier conjunto de enteros distintos {i1,…,ik } ⊂ {1,…n}, tenemos:
Las variables aleatorias pueden ser independientes de dos en dos, sin ser independientes en su conjunto:
