Estado estable

Dificultad
Promedio 50%

Estado estable

En una cadena de markov en tiempo continuo (e irreducible en tiempo discreto), el vector de probabilidades estacionario siempre existe y es independiente de la distribución inicial (estado estacionario). Este vector π es la solución del siguiente sistema:

estado estable

El sistema se llama ecuaciones de equilibrio.

Ejemplo

Dos máquinas idénticas funcionan continuamente a menos que estén rotas. Un reparador disponible según sea necesario para reparar las máquinas.

El tiempo de reparación sigue una distribución exponencial con un promedio de 0,5 días. Una vez reparada, el tiempo de actividad de una máquina antes de su próxima rotura sigue una distribución exponencial de un promedio de 1 día. Suponemos que estas distribuciones son independientes. Considere el proceso aleatorio definido en términos de la cantidad de máquinas fallidas.

Considere la variable aleatoria X (t ') que describe el número de máquinas inactivas en el tiempo t'. Los estados de la variable aleatoria son {0, 1, 2}. El tiempo de reparación y el tiempo de rotura siguen una distribución exponencial, por lo que estamos en presencia de una cadena de Markov de tiempo continuo. El tiempo de reparación sigue una distribución exponencial con un promedio de 0,5 días. La tasa de reparación es la inversa, es decir, 2 máquinas por día. Asimismo, deducimos que la tasa de escombros es de 1 día. Cuando las dos máquinas están funcionando, tenemos una tasa de rotura = máquina1 + máquina2 = 2.

Los estados describen la cantidad de máquinas que han fallado. Las dos máquinas no pueden romperse al mismo tiempo, por lo que q02 = 0. El reparador solo repara una máquina a la vez, por lo que q20 = 0. La tasa de reparación es de 2 máquinas por día. La tasa de rotura de una máquina es de 1 máquina por día y 2 por día si ambas máquinas están en funcionamiento. Lo que nos da la siguiente cadena de Markov de estado continuo:

estado estable

Si tomamos las ecuaciones de balance, tenemos el siguiente sistema:

estado estable

Lo que da como solución el vector (0.4, 0.4, 0.2). Si se busca calcular el número medio de máquinas averiadas, basta con calcular la expectativa matemática ya que los estados representan la cantidad de máquinas averiadas: 0 * 0,4 + 1 * 0,4 + 2 * 0,2 = 0,8.

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