Criterios de recurrencia y transitoriedad

Dificultad
Fácil 25%

Criterios de recurrencia y transitoriedad

Estudiaremos una segunda clasificación de estados en función del tipo de comportamiento de la cadena (los criterios de recurrencia y fugacidad).

Sea x un estado de la cadena, denotamos el tiempo para alcanzar x, denotado por TX, el primer instante en el que se visita x después de la salida. por convención, el tiempo de alcance es infinito si nunca llegamos a x. La fórmula es la siguiente (usaremos las notaciones clásicas para las probabilidades):

recurrencia y fugacidad

Si la cadena comienza en el estado x, usamos el término tiempo de retorno.

Se dice que un estado x es recurrente si:recurrencia y fugacidad

Se dice que el estado x es transitorio o transitorio de otro modo, es decir, cuando:

recurrencia y fugacidad

 

Un estado es recurrente si estamos seguros de volver a él, es transitorio si existe una probabilidad distinta de cero de no volver nunca a él y, por tanto, de dejarlo definitivamente.

Se dice que una clase de equivalencia es recurrente, respectivamente transitoria, si uno de sus vértices es recurrente, resp. transitorio.

Una clase recurrente es cerrada, es decir, la probabilidad de salir de una clase recurrente es cero.

Sea x cualquier estado que pertenezca a la clase de recurrencia C. Suponga
que existe y ∉ C tal que x → y y demostremos que tenemos una contradicción. Tenga en cuenta primero que y no conduce a ningún vértice de C, porque de lo contrario tendríamos y → x y, por lo tanto, x ↔ y e y ∈ C. Además, tenemos:

recurrencia y fugacidad

Sin embargo, la probabilidad de no volver ax está limitada inferiormente por la probabilidad de ir ay en un tiempo finito (ya que y no conduce a ningún estado de C). Entonces, tenemos la siguiente relación:

recurrencia y fugacidad

Lo cual es una contradicción con x recurrente. Vemos que una clase recurrente es cerrada, pero lo contrario es falso en general, aún se verifica si esta clase tiene una cardinalidad finita.

Es importante conservar el siguiente corolario: cadena de markov definido en un espacio de estado finito admite al menos un estado recurrente.
 
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