Critères de récurrence et transience

Difficulté
Facile 25%

Critères de récurrence et transience

Nous allons étudier une seconde classification des états dépendant du type de comportement de la chaîne (les critères de récurrence et transience).

Soit x un état de la chaîne, nous notons le temps d’atteinte de x, noté Tx, le premier instant où x est visité après le départ. par convention, le temps d’atteinte est infini si nous n’atteignons jamais x. La formule est la suivante (nous utiliserons les notations classiques pour les probabilités) :

récurrence et transience

Si la chaîne part de l’état x, nous employons le terme de temps de retour.

Un état x est dit récurrent si :récurrence et transience

L’état x est dit transient ou transitoire sinon, c’est à dire quand :

récurrence et transience

 

Un état est récurrent si nous sommes sûr d’y revenir, il est transient s’il existe une probabilité non nulle de ne jamais y revenir, et donc de le quitter définitivement.

Une classe d’équivalence est dite récurrente, respectivement transiente, si un de ses sommets est récurrent, resp. transient.

Une classe récurrente est fermée, autrement dit, la probabilité de sortir d’une classe récurrente est nulle.

Soit x un état quelconque appartenant à la classe de récurrence C. Supposons
qu’il existe y ∉ C tel que x → y et montrons que l’on a une contradiction. Remarquons d’abord que y ne conduit à aucun sommet de C, car sinon on aurait y → x et donc x ↔ y et y ∈ C. De plus, on a :

récurrence et transience

Or, la probabilité de ne pas revenir en x est bornée inférieurement par la probabilité d’aller en y en temps fini (vu que y ne conduit à aucun état de C). Ainsi, nous avons la relation suivante :

récurrence et transience

Ce qui est une contradiction avec x récurrent. Nous voyons qu’une classe récurrente est fermée, mais la réciproque est fausse en général, elle est tout de même vérifiée si cette classe est de cardinal fini.

Il est important de retenir le corollaire suivant :  une chaîne de Markov définie sur un espace d’états fini admet au moins un état récurrent.
 
Partager
fr_FRFR
%d blogueurs aiment cette page :