Régime permanent

Difficulté

Moyen 50%

Contenus

Dans une chaîne de Markov en temps continu (et irréductible en temps discret), le vecteur des probabilités stationnaires existe toujours et est indépendant de la distribution initiale (régime permanent). Ce vecteur π est solution de système suivant :

Le système est appelé équations de balance.

Exemple

Deux machines identiques fonctionnent de façon continue à moins d’être brisées. Un réparateur disponible au besoin pour réparer les machines.

Le temps de réparation suit une distribution exponentielle avec une moyenne de 0.5 journée. Une fois réparée, le temps d’utilisation d’une machine avant son prochain bris suit une distribution exponentielle de moyenne de 1 journée. Nous supposons que ces distributions sont indépendantes. Considérons le processus aléatoire défini en termes du nombre de machines en panne.

Considérons la variable aléatoire X(t’) décrivant le nombre de machines en panne au temps t’. Les états de la variable aléatoire sont {0, 1, 2}. Le temps de réparation et le temps de bris suivent une distribution exponentielle donc nous sommes en présence d’une chaîne de Markov en temps continu. Le temps de réparation suit une distribution exponentielle avec une moyenne de 0.5 journée. Le taux de réparation est l’inverse, soit 2 machines par jour. De même, nous en déduisons que le taux de débris est de 1 jour. Au moment où les deux machines fonctionnent on a un taux de bris=machine1+machine2=2.

Les états décrivent le nombre de machines en panne. Les deux machines ne peuvent se briser au même moment donc q₀₂ = 0. Le réparateur ne répare qu’une seule machine à la fois donc q₂₀ = 0. Le taux de réparation est de 2 machines par jour. Le taux de bris d’une machine est de 1 machine par jour, et de 2 par jour si les deux machines sont en marche. Ce qui nous donne la chaîne de Markov à état continu suivante :

Si l’on prend les équations de balance, nous avons le système suivant :

Ce qui donne pour solution le vecteur (0.4, 0.4, 0.2). Si l’on cherche à calculer le nombre moyen de machines brisée, il suffit de calculer l’espérance mathématique puisque les états représentent le nombre de machines brisées : 0*0.4 + 1*0.4 + 2*0.2 = 0.8.