Test de Dickey-Fuller

Nous considérons le processus stochastique de forme

où |φ| ≤ 1 et εi est un bruit blanc. Si |φ| = 1, on a ce qu’on appelle une racine unitaire. En particulier, si φ = 1, on a une marche aléatoire (sans dérive), qui n’est pas stationnaire. En fait, si |φ| = 1, le processus n’est pas stationnaire, alors que si |φ| < 1, le processus est stationnaire. Nous ne considérerons pas le cas où |φ| > 1 de plus puisque dans ce cas le processus est dit explosif et s’accentue avec le temps.

Ce processus est un processus autorégressif de premier ordre, AR(1), que nous étudions plus en détail dans Processus autorégressifs. Nous verrons également pourquoi de tels processus sans racine unitaire sont stationnaires et pourquoi le terme « racine » est utilisé.

Le test de Dickey-Fuller est un moyen de déterminer si le processus ci-dessus a une racine unitaire. L’approche utilisée est assez simple. Calculez d’abord la première différence, c’est-à-dire

c’est-à-dire

Si nous utilisons l’opérateur delta, défini par Δyi = yi – yi-1 et définissons β = φ – 1, alors l’équation devient l’équation de régression linéaire

où β ≤ 0 et donc le test pour φ est transformé en un test selon lequel le paramètre de pente β = 0. Ainsi, nous avons un test unilatéral (puisque β ne peut pas être positif) où

H0 : β = 0 (équivalent à φ = 1)

H1 : β < 0 (équivalent à φ < 1)

Sous l’hypothèse alternative, si b est l’estimation des moindres carrés ordinaires (MCO) de β, et donc φ-bar = 1 + b est l’estimation des moindres carrés ordinaires (MCO) de φ, alors pour n suffisamment grand

où

Nous pouvons utiliser l’approche de régression linéaire habituelle, sauf que lorsque l’hypothèse nulle est vérifiée, le coefficient t ne suit pas une distribution normale et nous ne pouvons donc pas utiliser le test t habituel. Au lieu de cela, ce coefficient suit une distribution tau, et notre test consiste donc à déterminer si la statistique tau τ (qui est équivalente à la statistique t habituelle) est inférieure à τcrit sur la base d’un tableau de valeurs statistiques tau critiques présenté dans le tableau Dickey-Fuller. .

Si la valeur tau calculée est inférieure à la valeur critique du tableau des valeurs critiques, alors nous avons un résultat significatif ; sinon, nous acceptons l’hypothèse nulle selon laquelle il existe une racine unitaire et que la série chronologique n’est pas stationnaire.

Il existe les trois versions suivantes du test de Dickey-Fuller :

Type 0 Pas de constante, pas de tendance Δyi = β1 yi-1 + εi
Type 1 Constante, pas de tendance Δyi = β0 + β1 yi-1 + εi
Type 2 Constante et tendance Δyi = β0 + β1 yi-1 + β2 i+ εi

Chaque version du test utilise un ensemble différent de valeurs critiques, comme indiqué dans le tableau Dickey-Fuller. Il est important de sélectionner la version correcte du test pour la série chronologique analysée. Notez que le test de type 2 suppose qu’il existe un terme constant (qui peut être significativement égal à zéro).