Méthode multiplicative de Holt-Winters

Dans la méthode Holt-Winters (alias triple lissage exponentiel), nous ajoutons une composante saisonnière au modèle de tendance linéaire de Holt. Nous explorons deux de ces modèles : le modèle de saisonnalité multiplicatif et le modèle de saisonnalité additive. Nous considérons le premier de ces modèles sur cette page Web. Voir Modèle additif Holt-Winters pour le deuxième modèle.

Soit c la durée d’un cycle saisonnier. Ainsi, c = 12 pour les mois d’une année, c = 7 pour les jours d’une semaine et c = 4 pour les trimestres d’une année. Le modèle prend la forme récursive suivante pour tout i > c

où 0 ≤ α ≤ 1, 0 ≤ β ≤ 1 et 0 ≤ γ ≤ 1.

Les valeurs ui représentent la ligne de base, les valeurs vi représentent la tendance (c’est-à-dire la pente) et les valeurs si représentent la composante saisonnière. Dans le modèle multiplicatif, pour toute c périodes de temps consécutives, la somme des valeurs si est approximativement égale à c (au moins pour des valeurs raisonnables de α, β, γ).

Les prédictions pour les éléments de données yi peuvent être exprimées par

Pour les prévisions à des heures futures, nous utilisons le formulaire

où h′ =INT((h–1)/c)+1.

Formes alternatives
Nous pouvons également utiliser la version alternative suivante du terme de saisonnalité :

Sur la base de cette version du terme de saisonnalité, nous avons la forme alternative suivante des équations récursives :

Les valeurs initiales du modèle, c’est-à-dire où 1 ≤ i ≤ c, sont

Alternativement, nous pouvons fixer la valeur de tendance initiale en utilisant la pente moyenne des deux premières années, à savoir :

Notez que si γ = 0, alors le modèle Holt-Winters est équivalent au modèle de tendance linéaire de Holt, et si β = 0 et γ = 0, alors le modèle Holt-Winters est équivalent au modèle de lissage exponentiel simple.

Calculez les valeurs prévues de la série chronologique indiquée dans la plage C4:C19 de la figure à l’aide de la méthode Holt-Winter avec α = 0,5, β = 0,5 et γ = 0,5.

Le résultat est présenté sur la figure. Tout d’abord, nous calculons s1, s2, s3, s4, où c = 4, comme indiqué dans la plage F4:F7. Nous faisons cela en insérant la formule =C4/AVERAGE(C$4:C$7) dans la cellule F4, en mettant en surbrillance la plage F4:F7 et en appuyant sur Ctrl-D.

Ensuite, nous calculons uc et vc en plaçant la formule =C7/F7 dans la cellule D7 et la valeur 0 dans la cellule E7.

Nous insérons maintenant la formule =C$22*C8/F4+(1-C$22)*(D7+E7) dans la cellule D8, la formule =D$22*(D8-D7)+(1-D$22)*E7 dans la cellule E8, =E$22*(C8/D8)+(1-E$22)*F4 dans la cellule F8 et la formule =(D7+E7)*F4 dans la cellule G8, puis mettez en surbrillance la plage D8:F19 et appuyez sur Ctrl- D.

Nous pouvons utiliser Solver pour déterminer quelles valeurs d’alpha, bêta et gamma donnent le meilleur ajustement Holt-Winters pour les données de l’exemple.

L’approche d’optimisation utilisant le Solveur d’Excel est cependant susceptible de trouver un minimum local au lieu d’un minimum global. Pour cette raison, les valeurs optimisées pour alpha, bêta et gamma sont sensibles aux valeurs initiales utilisées. Vous pouvez demander à Solver d’essayer différentes valeurs initiales pour trouver les valeurs de paramètres qui réduisent la valeur de MAE.

Pour ce faire, sélectionnez Données > Analyse | Solveur et appuyez sur le bouton Options de la boîte de dialogue Solveur. La boîte de dialogue Solveur contient automatiquement les valeurs collectées par l’outil d’analyse des données Basic Forecasting. Maintenant, choisissez l’option Multistart dans l’onglet GRG Nonlinear de la boîte de dialogue Options. Le solveur s’exécutera désormais plusieurs fois en utilisant différentes valeurs de départ, en sélectionnant les valeurs qui produisent le meilleur résultat. Le coût de cette option réside dans des temps d’exécution plus lents.