Esta página muestra varios ejemplos sobre los casos de uso de los diferentes medios, en particular, la media geométrica y la media armónica.
La media aritmética se nombra apropiadamente: la encontramos sumando todos los números en el conjunto de datos, luego dividiendo por el número de números en el conjunto de datos (para reducir la suma a la escala de los números originales).
3 + 8 + 10 = 21
21 ÷ 3 = 7
Significado aritmetico = 7
Observe, lo que básicamente estamos diciendo aquí es: si cada número en nuestro conjunto de datos fuera el mismo número, ¿qué número tendría que ser para tener la misma suma que nuestro conjunto de datos real?
Pero no hay nada particularmente especial en la adición. Es solo una operación matemática bastante simple. La media aritmética funciona bien para producir un número "promedio" de un conjunto de datos cuando existe una relación aditiva entre los números.
Tal relación a menudo se llama "lineal", porque cuando se grafican en orden ascendente o descendente, los números tienden a caer sobre una línea recta o alrededor de ella. Un ejemplo idealizado simple sería un conjunto de datos donde cada número se produce sumando 3 al número anterior:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19...
La media aritmética por lo tanto nos da un valor mediano perfectamente razonable:
(1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19) ÷ 7 = 10
Pero no todos los conjuntos de datos se describen mejor con esta regresión lineal. Algunos tienen una relación multiplicativa o exponencial, por ejemplo, si multiplicamos cada número consecutivo por 3 en lugar de sumar por 3 como hicimos anteriormente:
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729…
Esto produce lo que se llama una serie geométrica. Cuando se dibujan en orden, estos números se parecen más a una curva que a una línea recta.
En esta situación, la media aritmética no es adecuada para producir un número "promedio" para resumir estos datos.
(1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729) ÷ 7 = 156.1
156 no está particularmente cerca de la mayoría de los números en nuestro conjunto de datos. De hecho, es más de 5 veces la mediana (número del medio), que es 27.
¿Qué hacer en este caso?
la media geometrica
Dado que la relación es multiplicativa, para encontrar la media geométrica multiplicamos en lugar de sumar todos los números. Luego, para escalar el producto al rango del conjunto de datos, necesitamos sacar la raíz del conteo de elementos, en lugar de simplemente dividir.
Por lo tanto, la media geométrica de nuestro conjunto de datos es:
1 * 3 * 9 * 27 * 81 * 243 * 729 = 10,460,353,203
séptima raíz de 10,460,353,203 = 27
significado geometrico = 27
En este caso, nuestra media geométrica se parece mucho al valor de la mediana de nuestro conjunto de datos. De hecho, es igual a la mediana.
La media geométrica no siempre será igual a la mediana, solo en los casos en que exista una relación multiplicativa exacta y consistente entre todos los números (por ejemplo, multiplicando cada número anterior por 3, como hemos hecho).
Los conjuntos de datos del mundo real rara vez contienen relaciones tan exactas, pero para aquellos que se aproximan a este tipo de relación multiplicativa, la media geométrica producirá un "número mediano" más cercano que la media aritmética.
Ejemplo de media geométrica
Supongamos que tenemos 100.000 $ que genera una tasa de interés variable cada año durante 5 años:
tipos de interés anuales: 1%, 9%, 6%, 2%, 15%
Nos gustaría tomar un atajo para encontrar nuestra tasa de interés anual promedio y, por lo tanto, nuestra cantidad total de dinero después de 5 años, por lo que tratamos de "promediar" estas tasas:
(.01 + .09 + .06 + .02 + .15) ÷ 5 = .066 = 6.6%
A continuación, insertamos este porcentaje promedio en una fórmula de interés compuesto:
Interés total devengado = $100.000 * (1,066⁵ - 1) = $37.653,11
Interés + principal = $37.653,11 + 100.000 = $137.653,11
suma final = $137,653.11
Comparemos los resultados:
Año 1: 100,000 + (100,000 * .01) = 100,000 * 1.01 = $101,000Año 2: 101,000 * 1.09 = $110,090año 3: 110,090 * 1.06 = $116,695.40año 4: 116,695.40 * 1.02 = $119,029.31año 5: 119,029.31 * 1.15 = $136,883.70Total final real = $136,883.70
Nuestro atajo sobrestimó nuestras ganancias reales en casi 1000 $.
Cometimos un error común: aplicamos una operación aditiva a un proceso multiplicativo y obtuvimos un resultado inexacto.
Probemos de nuevo con la media geométrica:
1.01 * 1.09 * 1.06 * 1.02 * 1.15 = 1.368837042
Quinta raíz de 1.368837042 = 1.064805657
significado geometrico = 1.064805657
Introduzca la media geométrica de las tasas de interés en nuestra fórmula de interés compuesto:
Interés total devengado = $100.000 * (1,0648⁵ - 1) = $36.883,70
Interés + principal = $36.883,70 + 100.000 = $136.883,70
suma final = $136,883.70 exactamente lo mismo que el método largo anterior
¡Lo que corresponde a la realidad!
Media geométrica y cambio de escala
Una característica interesante de la media geométrica es que en realidad puedes promediar números en escalas completamente diferentes.
Por ejemplo, queremos comparar las calificaciones en línea de dos cafeterías usando dos fuentes diferentes. El problema es que la fuente 1 usa una escala de 5 estrellas y la fuente 2 usa una escala de 100 puntos:
Cafetería A
fuente 1clasificación:4.5primavera 2clasificación:68Cafetería B
fuente 1clasificación:3primavera 2clasificación:75
Si tomamos ingenuamente la media aritmética de las puntuaciones brutas de cada cafetería:
Cafetería A =
(4.5 + 68) ÷ 2 = 36.25Cafetería B =(3 + 75) ÷ 2 = 39
Concluiríamos que Coffeeshop B fue el ganador.
Si conociéramos un poco mejor los números, sabríamos que necesitamos normalizar nuestros valores en la misma escala antes de promediarlos con la media aritmética, para obtener un resultado preciso. Así que multiplicamos las calificaciones de la Fuente 1 por 20 para escalarlas de una escala de 5 estrellas a una escala de 100 estrellas de la Fuente 2:
Cafetería A
4.5 * 20 = 90
(90 + 68) ÷ 2 = 79Cafetería B
3 * 20 = 60
(60 + 75) ÷ 2 = 67.5
Entonces encontramos que Coffeeshop A es el verdadero ganador, a diferencia de la aplicación ingenua de la media aritmética anterior.
La media geométrica, sin embargo, nos permite llegar a la misma conclusión sin tener que preocuparnos por la escala o las unidades de medida:
Cafetería A =
raíz cuadrada de (4.5 * 68) = 17.5Cafetería B =raíz cuadrada de (3 * 75) = 15
¡Y ahí lo tienes!
La media aritmética está dominada por números de mayor escala, lo que nos hace pensar que Coffeeshop B es la tienda mejor calificada. Esto se debe a que la media aritmética espera una relación aditiva entre números e ignora escalas y proporciones. De ahí la necesidad de poner los números en la misma escala antes de aplicar la media aritmética.
La media geométrica, por otro lado, puede manejar fácilmente proporciones variables, debido a su naturaleza multiplicativa. Esta es una propiedad extremadamente útil, pero observe lo que estamos perdiendo: no tenemos ninguna escala interpretable. La media geométrica no tiene unidades en tales situaciones.
¿Y la media armónica?
Mientras que la media aritmética requiere la suma y la media geométrica utiliza la multiplicación, la media armónica utiliza inversas.
Como recordarás, el inverso de un número n es simplemente 1/n. (por ejemplo, el recíproco de 5 es 1/5). Para números que ya son fracciones, esto significa que simplemente puedes "voltear" el numerador y el denominador: inverso de 4/5 = 5/4. Esto es cierto porque 1 dividido por una fracción da el inverso de esa fracción, p. 1 ÷ (4/5) = 5/4.
Así, la media armónica se puede describir con palabras: la inversa de la media aritmética de las inversas del conjunto de datos.
En realidad son solo unos simples pasos:
1. Tome el recíproco de todos los números en el conjunto de datos
2. Encuentra la media aritmética de esos recíprocos
3. Toma el recíproco de ese número
En notación matemática, esto se ve así:
La media armónica de 1, 4 y 4 es 2.
Nota: Debido a que 0 no tiene inversa (nada se puede multiplicar por 0 para = 1), la media armónica tampoco puede manejar conjuntos de datos que contienen 0, como la media geométrica.
¿Pero para qué es eso?
Ejemplo de media armónica
Nuevamente, similar al uso de la media geométrica como la contraparte de la media aritmética para relaciones multiplicativas o no lineales, la media armónica nos ayuda a encontrar relaciones de multiplicación/división entre fracciones sin preocuparnos por los denominadores comunes.
Como tal, la media armónica acepta naturalmente otra capa de multiplicación/división encima de la media geométrica. Por lo tanto, es útil cuando se trata de conjuntos de datos de tasas o razones (es decir, fracciones) durante diferentes períodos de tiempo.
El ejemplo canónico de usar medios armónicos en el mundo real implica viajar a través del espacio físico a diferentes velocidades, es decir, velocidades.
Considere un viaje de ida y vuelta al supermercado:
- En el camino, manejaste a 30 mph todo el camino
- En el camino de regreso, el tráfico era lento y manejaste a 16 km/h todo el camino.
- Tomaste la misma ruta y cubriste la misma cantidad de terreno (5 millas) en cada sentido.
¿Cuál fue su velocidad promedio durante toda la duración de este viaje?
Una vez más, podríamos aplicar ingenuamente la media aritmética a 30 mph y 10 mph, y declarar con orgullo "¡20 mph!" »
Debido a que viajó más rápido en una dirección, viajó 8 km más rápido y pasó menos tiempo viajando a esa velocidad, por lo que su velocidad de viaje promedio durante toda la duración de su viaje n No es el punto medio entre 30 mph y 10 mph, debería ser más cerca de 10 mph porque ha pasado más tiempo conduciendo a esa velocidad.
Para aplicar correctamente la media aritmética aquí, necesitamos determinar el tiempo empleado en viajar en cada tarifa y luego ponderar nuestro cálculo de la media aritmética de manera adecuada:
Viaje allí: (a 30 mph)
30 millas por 60 minutos = 1 milla cada 2 minutos = 1/2 milla cada minuto
5 millas a 1/2 milla por minuto = 5 ÷ 1/2 = 10 minutos
Tiempo de "viaje allí" = 10 minutos
Viaje de regreso: (a 10 mph)
10 millas por 60 minutos = 1 milla cada 6 minutos = 1/6 de milla cada minuto
5 millas a 1/6 de milla por minuto = 5 ÷ 1/6 = 30 minutos
Tiempo de "viaje de regreso" = 30 minutos
Tiempo total de viaje = 10 + 30 = 40 minutos
“Viaje Allí” % del viaje total = 10 / 40 minutos = .25 = 25%
“Trip Back” % de viaje total = 30 / 40 minutos = .75 = 75%
Media aritmética ponderada = (30 mph * 0,25) + (10 mph * 0,75) = 7,5 + 7,5 = 15
Tasa promedio de viaje = 15 mph
Así que vemos que nuestra verdadera velocidad promedio de viaje fue de 15 mph, que es 5 mph (o 25 %) menos que nuestra afirmación ingenua de 20 mph usando una media aritmética no ponderada.
Intentemos nuevamente usando la media armónica.
Significado armonico de 30 y 10 = ...
Significado aritmetico de recíprocos = 1/30 + 1/10 = 4/30 ÷ 2 = 4/60 = 1/15
Recíproco de significado aritmetico = 1 ÷ 1/15 = 15/1 = 15
¡Y ahí lo tienes!
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