Algoritmo de Dijkstra

Algoritmo de Dijkstra

EW Dijkstra (1930-2002) propuso en 1959 un algoritmo (llamado algoritmo de Dijkstra) que permite determinar el camino más corto entre dos vértices de un grafo conectado ponderado. El algoritmo de Dijkstra se basa en la siguiente observación: una vez que determinamos el camino más corto a un vértice v, entonces los caminos que van de v a cada uno de sus vértices adyacentes podrían ser el camino más corto a cada uno de estos picos vecinos. El algoritmo de Dijkstra es un codicioso algoritmo de programación dinámica, visita todas las soluciones posibles.

Condiciones

  • Sin longitud negativa
  • Arco o borde
  • Número finito de vértices
  • Una fuente (y, de paso, un objetivo) definida

El algoritmo de Dijkstra toma como entrada un gráfico dirigido ponderado por reales positivos y un vértice fuente. Se trata de construir progresivamente un subgrafo en el que se clasifican los diferentes vértices en orden creciente de su distancia mínima desde el vértice inicial. La distancia corresponde a la suma de los pesos de los bordes prestados.

Cumbre visitada: Una cumbre para la que hemos determinado la ruta más corta. Una vez que hayamos definido un vértice como VISIT, este es definitivo y no volveremos a ese vértice.
Pico marcado : Cumbre para la que se ha encontrado un camino. Marcamos esta cumbre como CANDIDATO por el camino más corto.

Inicialmente, consideramos que las distancias desde cada vértice al vértice inicial son infinitas excepto para el vértice inicial para el cual la distancia es 0. El subgrafo inicial es el conjunto vacío.

Durante cada iteración, elegimos fuera del subgrafo un vértice de distancia mínima y lo agregamos al subgrafo (se convierte en un vértice visitado). Luego, actualizamos las distancias de los vértices vecinos del agregado (los vértices están marcados). La actualización se realiza de la siguiente manera: la nueva distancia desde el vértice vecino es el mínimo entre la distancia existente y la obtenida sumando el peso del arco entre el vértice vecino y el vértice agregado a la distancia desde el vértice agregado.

Continuamos de esta manera hasta que el subgrafo esté completamente completado (o hasta que se seleccione el vértice de llegada). Ejemplo :

algoritmo de Dijkstra de la ruta más corta
 distanciaa Aa Ba Ca Da Ea Fa Ga Htengoa J
paso inicial0
A (0) 85217173
B (85PARA) 217173165
F (165B) 217173415
E (173PARA) 217415675
C (217PARA) 403320415675
H (320VS) 503403415675487
G (403VS) 503415487
Yo (415F) 503487
J (487H) 503
D (503H) 

Por razones prácticas, resolver el algoritmo de Dijkstra solo devuelve un vector que contiene el vértice visitado, la lista de predecesores (los vértices ya validados) y los valores de las rutas más cortas a todos los demás vértices. Que corresponde a una fila actual de la tabla presentada. Gracias a la columna de la izquierda, podemos crear un árbol de los caminos más cortos desde el vértice A hasta todos los vértices.

algoritmo de Dijkstra de la ruta más corta
Optimalidad
La cima inicial es el camino más corto para llegar a sí misma. Luego, calculamos todos los caminos de tamaño 1 a partir de este vértice, para validar el más corto. Por lo tanto, este camino es el camino más corto desde la cumbre de inicio porque no hay borde de peso negativo. Por inducción, deducimos que el algoritmo siempre valida un camino más corto.
d [0] = 0, d [i] = infinito para cualquier vértice que no sea el origen
siempre y cuando'hay un vértice fuera del subgrafo PAG
   elige un top Para fuera de PAG menor distancia d [a]
   poner Para dentro PAG
   para cada pico B fuera de PAG vecino de Para
      d [b] = min (d [b], d [a] + peso (a, b))
   fin
fin
volver d
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