Análisis de sensibilidad posóptimo

Análisis de sensibilidad posóptimo

Cuando se analiza la solución básica óptima al problema PL para responder preguntas sobre cambios en su formulación, el estudio se denomina análisis de sensibilidad posóptimo.

Llamamos post-optimización a todas las técnicas que permiten obtener el óptimo del problema PL cuando ciertos datos han sufrido modificaciones.

Consideramos el problema general de programación lineal en su forma de stand art:

análisis de sensibilidad posóptimo

Este estudio puede estar motivado por varias razones:

  • los datos del problema no se conocen con exactitud, en cuyo caso es importante determinar en qué medida esto afecta la solución propuesta;
  • queremos evaluar las consecuencias de un cambio de política que modificaría los hechos del problema.

Costos marginales

El costo marginal de un bien se denomina aumento mínimo del gasto, en comparación con la solución óptima, que resultaría del uso de una unidad adicional de este bien, cuando el problema planteado consiste en producir bienes al menor costo.

Si el problema que se plantea consiste en transformar bienes para vender una producción con mejor beneficio y el máximo aumento de renta que resulta de la posibilidad de tener una unidad adicional de uno de los bienes, es el valor marginal de este bien. Muy a menudo, en este caso también se utiliza el coste marginal calificador.

Los costos marginales y * son, por lo tanto, los efectos netos asociados con las variables de brecha, ya que son estas variables las que determinan los excedentes (o escaseces) de bienes. Estos son los valores de las variables en la fila Z.

Si una variable de varianza no es cero, en la solución óptima, el bien correspondiente ya tiene superávit. Por tanto, tener una unidad adicional de este bien no influirá en los ingresos. La variable de varianza tiene un valor marginal cero.

Por otro lado, si una variable de varianza es cero en la solución óptima, es porque el bien correspondiente está totalmente utilizado. Posteriormente, una variación en la disponibilidad generalmente influirá en los ingresos. Es por esto que esta variable de desviación cero en la solución óptima tiene un valor marginal distinto de cero, y este valor marginal especifica la variación de la función económica resultante del uso de una unidad adicional del bien asociado.

análisis de sensibilidad posóptimo

con el vector solución x * = (2,6). Atención, aquí la línea muestra el valor de Z y no de -Z (de ahí los valores positivos).

Podemos medir la sensibilidad de la solución óptima a un cambio en un término de línea o un coeficiente en el objetivo.

Estudio 1: variación en la función objetivo

Queremos examinar cómo varía la solución óptima cuando varía el coeficiente de una de las variables en la función objetivo. Editar cj equivale a modificar la pendiente de la función objetivo.

La variación de un coeficiente en la función objetivo durante un cierto intervalo no conduce a una modificación de la solución óptima. Fuera de este intervalo, tenemos una nueva solución que en sí misma permanece óptima durante otro intervalo. Por tanto, podemos destacar un número finito de intervalos de variación para cj, con en cada uno de ellos una solución invariante.

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El valor de la j-ésima variable en el óptimo x *j mide el aumento en la función objetivo si el costo unitario c se incrementa en unoj. Comportamiento lógico y trivial ya que la función objetivo está compuesta por la suma de cj* Xj.

Cambiemos la función objetivo por max z '= 4 * x1 + 5 * x2. El valor de la función objetivo cambiará en x *1 = 2, mientras que el vector solución no se modificará como lo muestra la resolución gráfica:

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Asimismo, si c1 cambia de 3 a 2, solo se modificará el valor de la función objetivo. Calcular el intervalo sobre el cual el coeficiente x *1 es válida, necesitamos evolucionar la función objetivo hasta que sea paralela a las otras restricciones.

Es decir cuando la pendiente de la función objetivo es igual a la pendiente de las tensiones saturadas para el vector solución s *:

  • z = c1* X1 + 5 * x2 y 2 * x2 = 12 entonces -c1/ 5 = 0, c1 = 0;
  • z = c1* X1 + 5 * x2 y 3 * x1 + 2 * x2 = 18 entonces -c1/ 5 = -3/2, c1 =15/2.

El coeficiente x *1 es por tanto válido para c1 entre 0 y 15/2.

Cuando el problema es de gran dimensión, es posible calcular la variación del costo usando el simplex agregando un delta sobre el costo para variar como en el siguiente ejemplo:

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La solución sigue siendo óptima siempre que la línea de -Z tenga números negativos, así que si:

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Estudio 2: variación en la segunda extremidad

Cuando el segundo miembro de una restricción varía (dentro de un cierto intervalo), si esta restricción no estaba saturada, entonces la solución no cambia y tampoco el valor óptimo de la función objetivo. Este resultado es obvio ya que la solución óptima que no satisface la restricción con igualdad, se puede variar (un poco) el segundo miembro sin "tocar" la solución óptima.

Por otro lado, si la restricción se verificó con igualdad en el óptimo, se tiene un intervalo de variación para el segundo miembro como:

  • La solución cambia, pero las variables cero siguen siendo cero y las variables distintas de cero siguen siendo distintas de cero: la estructura de la solución no cambia.
  • La variación del segundo miembro i provoca una variación del valor óptimo de la función objetivo igual a uI* DI, por lo tanto proporcional adI.
El coeficiente de proporcionalidad se llama variación marginal o costo dual o beneficio marginal. El doble costo uI es igual al cambio en el valor óptimo de la función objetivo cuando el segundo miembro aumenta en uno.

Si dejamos el intervalo, tenemos un nuevo coste dual. Así, podemos resaltar un número finito de intervalos de variación para el segundo miembro con, en cada uno de ellos, un valor para el costo dual. En los diferentes intervalos, el análisis de sensibilidad no da la solución óptima ya que los valores numéricos de las variables dependen del valor exacto del segundo miembro.

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Considere en el ejemplo que b1 = 4 se convierte en b '1 = 5. Hagamos una resolución gráfica del nuevo problema:

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La evolución de este segundo miembro no modificó la solución óptima, el valor de la función objetivo no cambia. Este cambio fue fácil de predecir porque el costo marginal de la variable de brecha y *1 es cero: z '* - z * = y *1 = 0.

¿Cuándo es la disminución en b1 ? Como explica la explicación sobre los costos marginales, disminuir 1 del segundo miembro hace que el valor de la función objetivo disminuya en una cantidad igual al costo marginal. Entonces, disminuir 1 no resultará en un cambio.

Para conocer las posibilidades de evolución del stock sin cambiar el valor de la solución óptima, es necesario agregar un delta en el segundo miembro estudiado como se muestra en el siguiente ejemplo:

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La solución sigue siendo óptima siempre que el simplex no esté degenerado, es decir, el segundo miembro sea positivo:

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El aumento y la disminución no cambian el valor de la función objetivo en un intervalo pequeño, pero si b1 es menor que 2, podemos ver en la resolución de gráficos que se cambiará la solución óptima. El intervalo de validez de y *1 = 0 es por tanto para b1 entre 2 e infinito.

Considere ahora un aumento del tercer segundo miembro ab '3 = 19. Dado que el costo marginal no es cero, la solución óptima se modificará como se muestra en la resolución gráfica.

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Por lo tanto, podemos interpretar el costo marginal como: la disminución o pérdida de una unidad del tercer segundo miembro conducirá a una evolución de y *3 del valor de la función objetivo en un intervalo b3 comprendido entre 12 y 24.

Estudio 3: variación de variables no base

El costo reducido de la variable no base xj, denotado porj, mide el aumento en la función objetivo si el valor de la variable no base se incrementa en una unidad. El costo reducido dej es el opuesto del coeficiente de la variable en la línea objetivo Z.
La solución óptima no cambiará hasta que el costo de la variable no base sea mejor que el valor óptimo de la función objetivo (es decir, si el coeficiente está entre -infinito y Z para un problema de maximización).

Volvamos al ejemplo anterior con una nueva restricción y una nueva variable:

análisis de sensibilidad posóptimo

Tenemos el siguiente costo reducido: d3 = -2. Esto significa que para construir una unidad de x3  disminuiría el valor de la función objetivo en 2 (ya que está fuera de la base x *3 = 0).

Comprobemos por cálculo: arregle x3 a 1. Obtenemos las siguientes tres desigualdades: x1 ≤ 3; 2 * x2 ≤ 10; 3 * x1 + 2 * x2 ≤ 15. El vector (5/3, 5) es la solución del sistema. Por tanto, tenemos una evolución de x1 desde 5/3 - 2 = -1/3 y x2 = 5-6 = -1 en la función objetivo (valor nuevo - valor anterior). Por tanto, su coste evoluciona en -1 / 3 * c1 - 1 C2 + 1 * c3 = -2 (1 * c3 porque pasamos de una producción de 0 a 1). Hallamos el valor del costo reducido de x3.
Para que x3 para ser rentable, su costo debe aumentar al menos lo contrario de su costo reducido.

Estudio 4: variación en la producción

Si el valor tieneij cambios en una restricción saturada, entonces no se mantiene ni la solución óptima ni el valor óptimo.
Si el valor tieneij cambios en una restricción insaturada y una variable base, entonces el valor puede variar entre + o - infinito (dependiendo de un mínimo o máximo) a S/ X *I. con S la variable de varianza.

De hecho, al agregar una variable delta en el costo de la variable basada en la restricción objetivo, entonces es suficiente inyectar el vector óptimo y resolver la ecuación como en el siguiente ejemplo:

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Si el valor tieneij cambios en cualquier restricción y de una variable no base, entonces solo una variación negativa (en el caso de un máximo) puede hacer que el producto sea viable en esta restricción. Luego debemos resolver el simplex incorporando el delta y verificar sus diversos criterios de optimalidad.
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