Modelado lineal (ejercicios)

Aquí hay ejercicios no corregidos relacionados con el modelado lineal.

Tutorial de modelado lineal

Una empresa fabrica dos productos A y B, utilizando una máquina my dos materias primas py q. Tenemos 8 horas de m, 10 kg de py 36 kg de q todos los días. Suponemos que:

  • la producción de una unidad de A requiere 2 kg de py 9 kg de q, y utiliza la máquina m durante 1 hora;
  • la producción de una unidad de B requiere 2 kg de py 4 kg de q, y utiliza la máquina m durante 2 horas;
  • los beneficios obtenidos son 50 € por unidad de A y 60 € por unidad de B

El objetivo de la empresa es maximizar el beneficio que podrá obtener, por día, de estos 2 productos haciendo el mejor uso de sus recursos.

  1. Escribe una tabla para resumir la información.
  2. Definir las variables
  3. Definir las restricciones
  4. Definir la función objetivo

Corrección

  1. La siguiente tabla resume los datos relacionados con este problema de producción:

ejercicios no corregidos de modelado lineal

2. Aquí se desconocen dos datos: la cantidad de producto A a producir y la cantidad de producto B a producir. Vamos a nombrarlos respectivamente x1 y x2. Tenemos dos variables en nuestros problemas de decisión.

3. Comprender cómo se restringen las variables de decisión. Para ello, es necesario utilizar los datos en las especificaciones.

  • Restricción de la máquina m (primera línea): El tiempo de uso de la máquina m para fabricar los productos A y B no puede exceder las 8 horas disponibles: m≤8.
    • La máquina produce una unidad de A en 1 hora
    • La máquina produce una unidad de B en 2 horas.
    • Reformulemos la restricción por: la cantidad de A y B producida no excede las 8h
    • X1 + 2 * x2 ≤8
  • Restricción de material p: La cantidad de material p no puede exceder los 10 kg
    • Una unidad de A consume 2 kg de p
    • Una unidad de B consume 2 kg de p
    • Formulación de la restricción: la cantidad de producto utilizada por A y B no supera los 10 kg
    • 2 * x1 + 2 * x2 ≤ 10
  • Restricción del material q: de manera similar concluimos que la cantidad de producto utilizada por A (9 kg por unidad) y por B (4 kg por unidad) no excede los 36 kg
    • 9 * x1 + 4 * x2 ≤ 36
  • Restricción de la positividad: se observa que el texto no brinda información directa sobre las variables de decisión. Sin embargo, es lógico que estos sean positivos o cero, parece poco probable que produzca -1 unidad de A.
    • X1 , X2 ≥ 0

4. La función objetivo es, como su nombre indica, el objetivo del industrial: maximizar su beneficio. Sabemos que vender una unidad de A gana $ 50 y vender una unidad de B gana $ 60. Sea z la ganancia total, entonces la función objetivo es max z = 50 * x1 + 60 * x2 .

los modelo matemático lineal, señalado (P), se puede resumir de la siguiente manera:

Ejercicio de modelado lineal (ejercicios)

Entrenarse

Ejercicio 1

Una empresa de fabricación de chasis planea producir dos nuevos modelos utilizando las capacidades de sus tres talleres. Es un marco de aluminio y un marco de madera respectivamente. El primer producto requiere el paso en el primer taller para fabricar el marco de aluminio y en el tercer taller donde se monta el vidrio en el marco.

Mientras que el segundo producto requiere el paso en el segundo taller para fabricar el marco de madera y en el tercer taller donde se monta el vidrio en el marco. Las utilidades unitarias, los tiempos de fabricación de cada uno de los productos en cada uno de los talleres así como las capacidades semanales de estos talleres se dan en la siguiente tabla:

Ejercicio de modelado lineal (ejercicios)

Formule el problema lineal.

Ejercicio 2

Un productor de electricidad quiere que estas dos centrales nucleares P y Q suministren una cantidad de energía a las ciudades A, B y C. Las cantidades mínimas de energía a satisfacer son 16 para A, 12 para B y 18 para C. Cuando un reactor de P produce, envía 2 unidades a A, 1 unidad a B y 1 unidad a C; y cuesta 20€ por día. 

Cuando un reactor de Q produce, envía 1 unidad a A, 1 unidad a B y 3 unidades a C; y cuesta 40 €. El productor busca la combinación menos costosa de reactores P y Q que cumpla con el requisito de consumo mínimo para las ciudades A, B, C. Los datos se resumen en la siguiente tabla:

Ejercicio de modelado lineal (ejercicios)

Formule el problema lineal.

Valida tus habilidades

Los siguientes ejercicios no son independientes, las restricciones se acumulan o cambian de una parte a otra.

Restricciones materiales

Ejercicio de modelado lineal (ejercicios)

Una fábrica de automóviles recibe 100 toneladas de aluminio y 80 toneladas de acero cada semana. La fábrica produce tres tipos de vehículos de construcción: transporte, obra estructural, grúa; vendidos respectivamente 250k €, 300k € y 400k €.

La producción de transporte requiere 5 toneladas de aluminio y 3 toneladas de acero; la Obra Estructural necesita 3 toneladas de aluminio y 5 toneladas de acero; la Grulla requiere 5 toneladas de cada uno. Formule el problema lineal para maximizar las ganancias de la planta.

Limitaciones del mercado

El equipo de marketing advierte a la planta que la producción de vehículos no está a la altura de la demanda de los clientes. Luego de un estudio de las estadísticas de ventas del último año, los analistas financieros dedujeron los siguientes datos: se vende un promedio de 10 Transportes por semana, con una desviación estándar de 2 vehículos (confianza de 99%); se vende un promedio de 8 Big Work por semana, con una desviación estándar de 4 vehículos (confianza de 99%); se vende un promedio de 4 grúas por semana con una desviación estándar de 1 grúa (confianza de 99%). Formule el problema para maximizar las ganancias de la planta.

Limitaciones de personal

Ejercicio de modelado lineal (ejercicios)

Gran error de su parte, al querer siempre maximizar las ganancias, ¡no tuvo en cuenta el tiempo de trabajo y la comodidad de los trabajadores! Estos últimos afirman con razón que la producción se ajusta a sus condiciones de trabajo. Estos se dividen en tres talleres.

La fundición tiene dos tanques en operación 24/24 y 6/7, 1 tonelada de aluminio tarda 30min en fundirse y 1 tonelada de acero tarda 1 hora en fundirse (cada tanque está configurado para uno de los dos metales). La línea de montaje está abierta 15/24h y 6/7d, se monta un Transporte en 5h, la Obra Principal en 10h y una grúa en 10h. El taller de acabado está abierto las 24 horas, los 7 días de la semana, el acabado tarda 3 horas, independientemente del vehículo. Formule el problema para maximizar las ganancias de la fábrica.

Nueva variable

Ejercicio de modelado lineal (ejercicios)

¡El equipo de desarrollo de fábrica ha creado un vehículo nuevo y revolucionario! Este vehículo de prueba solo necesita 2 toneladas de aluminio y 1 tonelada de acero por un precio de venta estimado de 150k €. La investigación de mercado muestra que puede vender al menos 10 unidades por semana. Este vehículo se ensambla en 4 horas y el acabado solo dura 2 horas. Formule el problema para maximizar las ganancias de la planta.

Compartir, repartir
es_ESES