Modelado lineal

Modelado lineal

Retomemos las bases de la modelización lineal en el marco del problema lineal. Los pasos a seguir son los siguientes:

  1. ¿Cuáles son las variables? su tipo puede ser entero, flotante o binario.
  2. ¿Cuáles son las limitaciones? como estamos en modelado lineal, las variables están aisladas (es decir que solo un coeficiente puede modificar las variables, operaciones de primer orden como la suma y la resta relacionan las variables).
  3. ¿Qué es la función objetivo? puede ser una minimización o una maximización; dado que estamos en modelado lineal, las variables están aisladas.
  4. El problema de la complejidad y el método de resolución no se abordará en este capítulo.

Ejemplo 1

Un industrial dispone de tres plantas adaptadas a la fabricación de dos productos. Cada lote de producto le genera una cierta cantidad y sabe la cantidad de horas necesarias para fabricar cada tipo de lote en sus fábricas.

modelado lineal

El industrial que desee maximizar su beneficio, es por tanto necesario encontrar la mejor producción posible.

Establezcamos variables de decisión:

  • X1 = el número de lotes de producto 1
  • X2 = el número de lotes de producto 2

Establezcamos las restricciones:

  • X1 ≤ 4 (segunda fila de la tabla)
  • 2 x2 ≤ 12 (tercera fila de la tabla)
  • 3 veces1 + 2 x_2 ≤ 18 (cuarta fila de la tabla)
  • X1 ≥ 0 y x2 ≥ 0 (el número de lotes es siempre positivo o cero)

Establezcamos la función objetivo:

  • z = beneficio total (en miles de euros)
  • z = 3 x1 + 5 x2 (de la última fila de la tabla)
  • max z, es decir, estamos buscando el valor máximo que puede tomar z

Lo que da el siguiente modelo matemático:

modelado lineal

Esto se puede representar desde un punto de vista gráfico mediante (el espacio de elección está en gris):

modelado lineal

Ejemplo 2

Ahora que el industrial sabe cómo optimizar sus ganancias, está tratando de minimizar sus gastos. Estos últimos consisten únicamente en los salarios de los empleados y las horas de trabajo. El fabricante para estimar el número mínimo de empleados (MinEmp) a asignar durante cada período del día. Cada colaborador debe trabajar en turnos para maximizar su tiempo de presencia, un día tiene cuatro turnos y estos requieren una retribución especial. Todos los datos se describen en la siguiente tabla:

modelado lineal

Establezcamos variables de decisión:

  • X1= el número de empleados en el primer turno
  • X2= el número de empleados en el segundo turno
  • X3= el número de empleados en el tercer turno
  • X4= el número de empleados en el cuarto turno
  • X5= el número de empleados en el quinto turno

Establezcamos las restricciones:

  • X≥ 48 (segunda fila de la tabla)
  • X+ x≥ 79 (tercera fila de la tabla)
  • etc.

Establezcamos la función objetivo:

  • Z = el costo total
  • Z = 170 x+ 160 x+ 175 x3+ 180 x4+ 195 x(de la última fila de la tabla)
  • min Z, es decir, estamos buscando el valor mínimo que puede tomar Z

Lo que da el siguiente modelo matemático:

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