Prueba de Dickey-Fuller

Consideramos el proceso estocástico de la forma.

donde |φ| ≤ 1 y εi es ruido blanco. Si |φ| = 1, tenemos lo que llamamos raíz unitaria. En particular, si φ = 1, tenemos un paseo aleatorio (sin deriva), que no es estacionario. De hecho, si |φ| = 1, el proceso no es estacionario, mientras que si |φ| < 1, el proceso es estacionario. No consideraremos el caso donde |φ| > 1 más ya que en este caso se dice que el proceso es explosivo y aumenta con el tiempo.

Este proceso es un proceso autorregresivo de primer orden, AR(1), que estudiamos con más detalle en Procesos autorregresivos. También veremos por qué estos procesos sin raíz unitaria son estacionarios y por qué se utiliza el término "raíz".

La prueba de Dickey-Fuller es una forma de determinar si el proceso anterior tiene una raíz unitaria. El enfoque utilizado es bastante simple. Primero calcule la primera diferencia, es decir

es decir

Si usamos el operador delta, definido por Δyi = yi – yi-1 y definimos β = φ – 1, entonces la ecuación se convierte en la ecuación de regresión lineal

donde β ≤ 0 y por lo tanto la prueba para φ se transforma en una prueba según la cual el parámetro de pendiente β = 0. Por lo tanto, tenemos una prueba unilateral (ya que β no puede ser positiva) donde

H0: β = 0 (equivalente a φ = 1)

H1: β < 0 (equivalente a φ < 1)

Bajo la hipótesis alternativa, si b es la estimación de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) de β y, por lo tanto, φ-bar = 1 + b es la estimación de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) de φ, entonces, para n suficientemente grande

o

Podemos utilizar el método habitual de regresión lineal, excepto que cuando la hipótesis nula es verdadera, el coeficiente t no sigue una distribución normal y, por tanto, no podemos utilizar la prueba t habitual. En cambio, este coeficiente sigue una distribución tau, por lo que nuestra prueba es si el estadístico tau τ (que es equivalente al estadístico t habitual) es menor que τcrit según una tabla de valores críticos del estadístico tau que se muestra en la tabla de Dickey-Fuller. .

Si el valor tau calculado es menor que el valor crítico en la tabla de valores críticos, entonces tenemos un resultado significativo; en caso contrario, aceptamos la hipótesis nula de que existe una raíz unitaria y que la serie temporal no es estacionaria.

Existen las siguientes tres versiones de la prueba de Dickey-Fuller:

Tipo 0 Sin constante, sin tendencia Δyi = β1 yi-1 + εi
Tipo 1 Constante, sin tendencia Δyi = β0 + β1 yi-1 + εi
Tipo 2 Constante y tendencia Δyi = β0 + β1 yi-1 + β2 i+ εi

Cada versión de la prueba utiliza un conjunto diferente de valores críticos, como se muestra en la tabla de Dickey-Fuller. Es importante seleccionar la versión correcta de la prueba para la serie temporal que se analiza. Tenga en cuenta que la prueba de tipo 2 supone que existe un término constante (que puede ser significativamente igual a cero).